В обычном, бытовом понимании количество информации связано с ее смысловым содержанием: дважды повторенная в сообщении фраза не увеличивает количество информации вдвое.
Интересный факт установили ученые-лингвисты, занимающиеся изучением закономерностей, лежащих в основе большинства языков, проведя измерение информативной емкости разных языков. Компьютерная обработка большого количества текстов, сопоставление длин переводов одного текста на разные языки и многочисленные эксперименты по угадыванию букв текста продемонстрировали избыточность естественных языков – при равномерной нагрузке информацией тексты могли быть короче в 4–5 раз. Величина избыточности для разных языков примерно одинакова.
В вычислительной технике принят иной подход к измерению количества информации, основанный на подсчете количества символов в сообщении и не связанный с его содержанием.
В современных средствах вычислительной техники (компьютерах) числовая, текстовая, графическая информация хранится и обрабатывается в виде электрических сигналов, преобразуемых в аудио- и видеосигналы, воспринимаемые органами зрения и слуха.
Кодирование. Система счисления
Для представления в виде электрических сигналов информация кодируется с помощью двоичной системы счисления.
Кодированием называют представление символов одного алфавита символами другого.
Непозиционная и позиционная системы счисления
Непозиционная система счисления – это такая система, в которой вводится ряд символов для представления основных чисел, а остальные числа – результат их сложения и вычитания.
Пример этой системы – римская система счисления. Основные символы римской системы счисления: I – один, X – десять, C – сто, M – тысяча; и их половины: V – пять, L – пятьдесят, D – пятьсот. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр (например, II – два, III – три, XX – двадцать, ССС – триста). Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если наоборот – вычитаются (например, XII – двенадцать, IV – четыре).
Позиционная система счисления – это такая система, в которой любое число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от их места (позиции) в числе. Мы знаем, что эту позицию также называют разрядом.
Например, арабская десятичная система счисления. Алфавит этой системы счисления состоит из десяти символов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), называемых арабскими цифрами. По правилам этой системы счисления символы располагаются начиная с нулевой позиции (разряда) и далее по возрастающей – слева направо. Чтобы представить число в этой системе счисления, нужно содержимое каждого разряда умножить на основание системы в степени, равной порядковому номеру разряда, а затем суммировать. Например, число 356 можно представить как сумму трех сотен, пяти десятков и шести единиц, т. е.: 356 = 3 х 102 + 5 х 101 + 6 х 100
Десятичная система счисления
Не случайно количество символов совпадает с количеством пальцев на обеих руках – свое начало она ведет от пальцевого счета.
Убежденным сторонником использования индо-арабской десятичной системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении Liber abaci (в 1202 году) он писал: «Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число». Слово zephirum дало начало французскому и итальянскому слову zero (ноль).
Двоичная система счисления
В алфавите двоичной системы счисления (как следует из ее названия) два символа: 0 и 1. С помощью последовательностей нулей и единиц (двоичных кодов), как в азбуке Морзе с помощью комбинаций точек и тире (Рис. 3), можно представить любую букву, цифру, символ.
Рождение двоичной системы исчисления
Официальное «рождение» двоичной системы счисления связывают с именем Готфрида Вильгельма Лейбница. В 1703 году была опубликована его статья, в которой рассматривались все правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия …при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».
Блестящие предсказания Лейбница сбылись через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, инженер Клод Шеннон, связал принципы двоичной системы счисления с работой релейных схем и заложил, тем самым, основы вычислительной техники, а физик и математик Джон фон Нейман использовал именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа представления информации в вычислительных машинах.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Восьмеричная система счисления – это система, в алфавите которой восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Она представляет собой компромисс между двоичной и десятичной системами, так как числа в этой системе читаются легко и переход от двоичного представления к восьмеричному очень прост.
В восьмеричной системе после 7 для увеличения числа нужно выполнить сдвиг на один разряд влево, подобно тому, как в десятичной системе выполняем сдвиг на один разряд влево после 9 при увеличении числа на 1. Таким образом, получается, что 10 в восьмеричной системе равняется 8 в десятичной системе. Поскольку 8 = 23, следовательно, сдвиг на 1 разряд влево в восьмеричной системе соответствует сдвигу на 3 разряда влево в двоичной системе.
Алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти арабских цифр и шести букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Таким образом, например, десятичное число 10 в этой системе будет обозначаться буквой А, число 11 – буквой В и т. д.
Указать систему счисления, в которой представлено число x, можно одним из двух способов: цифрами или буквами. Если использовать первый способ, то
x10, x2, x8, x16 будут обозначениями числа в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления соответственно. Введем теперь буквенные обозначения систем счисления.
Тогда Dx, Bx, Ox, Hx также будут обозначениями числа в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления соответственно. Именно буквенные обозначения используются в калькуляторе.
Исчезнувшие системы счисления
Некоторые народы пользовались пятеричной системой счисления, например, в Древнем Китае ее связывали с пятью стихиями (вода, огонь, дерево, металл и земля). В Древнем Вавилоне была распространена шестидесятеричная система, разработанная еще раньше шумерами, ее следы сохранились в делении часа и градуса на 60 минут и минуты на 60 секунд.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно умножить содержимое каждого разряда на основание системы в степени, равной порядковому номеру разряда, и все сложить.
Например
Переход из двоичной системы счисления в восьмеричную осуществляется заменой справа налево каждой триады двоичных цифр на одну восьмеричную цифру.
Например
Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления нужно делить это число «до упора» (т. е. пока делится) на основание той системы, в которую переводим число, а потом прочесть остатки справа налево (как указывает стрелка).
Допольнительня информация
В рассказе известного американского фантаста Пола Андерсона «После судного дня» экипаж межпланетного космического корабля, возвращаясь из длительной экспедиции, на подлете к Земле обнаруживает вместо зелено-голубой планеты черный дымящийся шар. Придя в себя от ужасной картины, люди строят предположения о причинах и виновниках трагедии.
На орбите вокруг Земли летает несколько ракет, препятствующих приближению к Земле. Две из них людям удается уничтожить, а третью – обезвредить и попасть внутрь нее. Обследуя ее, на перегородке приборной панели они обнаруживают нацарапанные «заметки для памяти..., содержащие две системы символов». Зная, что обитатели ближайших галактик использовали в качестве базовых систем счисления такие системы, которые соответствуют количеству пальцев на их руках (например, шестеричную – трехпалые, восьмеричную – четырехпалые), земляне получают ключ к разгадке преступления.
