2. Конспект для ученика по теме «Аксиомы стереометрии и их следствия. Решение задач»

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.

Аксиома 3.  Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.

Некоторые следствия из аксиом

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.

Рекомендации по оцениванию работ

Задания тестов разделены на три уровня сложности: А, В, С.

Задания уровня А (базового) предполагают выбор правильного ответа из четырех предложенных.

Для заданий уровня В (повышенной сложности) требуется привести краткий ответ.

В заданиях уровня С (творческих заданиях) необходимо изложить обоснованное решение.

Тематический тест содержит три задания уровня А (каждое оценивается в 1 балл), два задания уровня В (каждое оценивается в 2 балла) и одно задание уровня С (3 балла).

На выполнение теста отводится 15–20 мин. Рекомендуем следующее соответствие количества баллов и оценки: 2–3 балла – «3», 4–5 баллов – «4», 6–10 баллов – «5».

Тест 1

Тест 2

Вариант 1

1. Точки М и К являются серединами рёбер ВВ₁ и СС₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Сколько плоскостей, содержащих грани куба, параллельны прямой МК?

2. Точки А и В принадлежат рёбрам LL₁ и ММ₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁. Сколько существует прямых, содержащих рёбра куба, и скрещивающихся с прямой АВ?

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ угол BC₁B₁ равен 65°. Найдите угол между прямыми С₁В и DD₁.

4. На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью PRT?

5. В тетраэдре MNPT NMT = 90°, PNT = 60°, MN = 3, МТ = 4, NP = 6. Найдите площадь грани NPT.

6. Сумма трёх измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 32, АВ:АА₁:AD = 2:1:5. Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

7. Через точку К на ребре AD тетраэдра DABC проведено сечение параллельно грани ABC. Площадь сечения равна 27, АК:KD =1:3. Найдите площадь грани ABC.

Вариант 2

1. Точки Р и Т являются серединами рёбер LL₁ и ММ₁ параллелепипеда KLMNK₁L₁M₁N₁. Сколько плоскостей, содержащих грани параллелепипеда, параллельны прямой РТ?

2. Точки Н и Р принадлежат рёбрам АА₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Сколько существует прямых, содержащих рёбра куба и скрещивающихся с прямой HP?

3. Основание прямого параллелепипеда KLMNK₁L₁M₁N₁ — ромб, K₁L₁M₁ = 150°. Найдите угол между прямыми NL и L₁М₁.

4. На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC?

5. В тетраэдре DABC BAD = 90°, CBD = 60°, AD = 4, АВ = 4, ВС =7. Найдите площадь грани BCD.

6. Сумма трёх измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 40, АВ:АА₁:AD = 2:2:4. Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

7. Через точку К на ребре AD тетраэдра DABC проведено сечение параллельно грани BCD. Площадь грани BCD равна 50, АК:KD = 2:3. Найдите площадь сечения.

Тест 3 (Призма, параллелепипед)

Вариант 1

1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABD.

• E
• F
• L
• K

2. Найдите точку пересечения прямых KL и A₁D₁.

• F
• A₁
• D₁
• E

3. Укажите линию пересечения плоскостей А₁АD и B₁EF.

• KL
• B₁K
• BK
• CL

4. Найдите длину отрезка C_1.
5. Вычислите длину отрезка.
6. Найдите длину отрезка.

Вариант 2

1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A₁D₁D.

• F
• L
• E
• K

2. Найдите точку пересечения прямых KL и BC.

• F
• K
• L
• E

3. Укажите линию пересечения плоскостей АBC и B₁EF.

• A₁K
• KL
• D₁K
• C₁L

4. Найдите длину отрезка B_1.
5. Вычислите длину отрезка.
6. Найдите длину отрезка.

Тест 4 (Пирамида)

Вариант 1

1. Укажите линию пересечения плоскостей SKL и SAB.

• SE
• EL
• SA
• SL

2. Найдите линию пересечения плоскостей SEL и SBC.

• KL
• SL
• SK
• EL

3. Укажите точку пересечения плоскостей ABC, SAC, SBC.

• A
• B
• S
• C

4. Вычислите площадь треугольника BSL.
5. Найдите длину отрезка AE.
6. Вычислите длину отрезка LE.

Вариант 2

1. Укажите линию пересечения плоскостей SKL и SAB.

• SA
• SE
• KE
• SB

2. Найдите линию пересечения плоскостей SKL и SA

• SL
• KE
• SE
• SK

3. Укажите точку пересечения плоскостей ABC, SAC, SAB.

• A
• B
• C
• S

4. Вычислите площадь треугольника SLC.
5. Найдите длину отрезка B
6. Вычислите длину отрезка K

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]