Аксиомы стереометрии
Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.
Переходим к решению задач.
Решение задач
Решение:
а) Так как точки P и E принадлежат плоскости ADB, то прямая PE лежит в плоскости ADB (аксиома А2).
Аналогично MK лежит в плоскости BCD.
Так как точки B и D лежат одновременно в двух плоскостях ABD и BCD, то прямая BD лежит в двух плоскостях ABD и BCD.
Аналогично AB лежит в двух плоскостях ABD и ABC.
Точки E и C лежат одновременно в двух плоскостях ABC и CDE, значит прямая CE лежит в двух плоскостях ABC и CD.
б) Заметим, что точка C принадлежит прямой DK и плоскости ABC, следовательно, прямая DK пересекается с плоскостью ABD в точке E.
Аналогично CE пересекается с плоскостью ABD в точке E.
Решение:
Пусть точки A, B, C лежат на прямой m, а точка D не лежит на этой прямой.
Тогда по аксиоме А1 существует плоскость, проходящая через точки A, C и D.
Две точки A и С прямой m принадлежат в плоскости, значит и точка B этой прямой принадлежит этой плоскости.
Получается, что в одной плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.
Ответ: Точки A, B, C и D не могут лежать на одной прямой.
Дано:
Точки A, B, C принадлежат прямой m
Доказать: Существует плоскость, проходящая через A, B, C
Найти: Количество плоскостей
Решение:
Возьмем произвольную точку D, не лежащую на прямой m.
Через три точки A, C и D можно провести плоскость α (аксиома A1).
Так как две точки A и C прямой m принадлежат плоскости α, то и точка B прямой m принадлежит этой плоскости.
Все три точки принадлежат плоскости.
Значит плоскость α – искомая плоскость.
Так как мы взяли произвольную точку D, то таких плоскостей бесконечное множество.
Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить
бесконечное множество плоскостей.
Задача 4.
Верно ли, что если окружность имеет с плоскостью две общие точки, то окружность лежит в этой плоскости?
Ответ: Нет.
Ответ:
- точки А, В, С должны принадлежать одной прямой;
- точки К, L, M должны принадлежать одной прямой.
Домашняя работа
Назовите прямую:
Решение:
Решение:
