Параллелепипед
Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А1B1C1D1, которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА1B1C1D1 или АD1 (рис. 1.).
Рис. 1. Параллелепипед
Свойства параллелепипеда
1) Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
Так как плоскости АВС и А1B1C1 параллельны, а плоскость АА1В1 пересекает их соответственно по прямым АВ и А1В1, то из свойств параллельных плоскостей следует, что прямые АВ и А1B1 параллельны. А так как и прямые АА1 и ВВ1 параллельны по условию, то АВВ1А1 параллелограмм. Аналогично, можно рассмотреть и другие грани.
2) Ребра АА1, ВВ1, СС1, DD1 равны.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Значит, отрезки параллельных прямых АА1, ВВ1, СС1, DD1, которые заключены между параллельными плоскостями АВС и А1B1C1, равны.
3) Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 - AD, A1D1, B1C1, BC, 3 - АА1, ВВ1, СС1, DD1.
4) Имеются равные углы (с сонаправленными сторонами). Например, углы А1АВ и D1DC.
Свойство 1 (Грани параллелепипеда)
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Например, плоскости параллелограммов АА1В1В и DD1C1C параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА1 плоскости АА1В1 соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD1 плоскости DD1C1. Параллелограммы АА1В1В и DD1C1C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА1 и DD1, и равны углы А1АВ и D1DC.
Свойство 2 (Ребра параллелепипеда)
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Рис. 2. Диагонали параллелепипеда
Рассмотрим диагонали параллелепипеда А1C и D1B (рис. 2). Они также являются диагоналями четырехугольника A1D1CB. В этом четырехугольнике стороны A1D1 и BC параллельны и равны, а значит, A1D1CB – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали А1C и D1B пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.
Рис. 3.
Рассмотрим теперь четырехугольник АВС1D1 (рис. 3). В этом четырехугольнике стороны С1D1 и АВ параллельны и равны, а значит, АВС1D1 – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали С1А и D1В пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эти диагонали также пересекаются в точке О, так как мы уже выяснили, что середина диагонали D1В – это точка О. Следовательно, все диагонали параллелепипеда А1C, С1А и D1В, DВ1 пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Задачи
Задача 1
В параллелепипеде АВСDА1B1C1D1 постройте сечение плоскостью AD1M, где М – середина ребра ВС. Определите вид полученного сечения.
Рис. 4.
Решение: (рис. 4)
Соединим точки А и D1. Точки А и D1 лежат и в плоскости сечения и в плоскости АА1D1. Значит, АD1– линия пересечения этих плоскостей.
Проведем прямую МN параллельно прямой АD1. Плоскости АА1D1 и ВСС1 параллельны, значит, плоскость АМN рассекает их по параллельным прямым МN и АD1. Итак, АМND1 – искомое сечение.
Четырехугольник АМND1 - трапеция с основаниями АD1 и МN, так как АD1 и МN лежат на параллельных прямых.
Заметим, что средняя линия М1N1 в треугольнике АDD1 равна отрезку МN. Этот факт понадобится нам дальше для решения задач на нахождения периметра.
Вывод: Итак, мы рассмотрели параллелепипед и его свойства. На следующих уроках мы продолжим рассмотрение тетраэдра и параллелепипеда.
Домашнее задание
- Написать краткий конспект на эту тему.
- Выучить теорию.
- Решить задачи:
Задача 1. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:
а) А, С, В1
б) В1, D1 и середину ребра АА1.
Задача 2. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.
Задача 3. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?
