Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Обозначение параллельных прямых:
Рис. 1.
Теорема 1 и ее доказательство
Теорема 1.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Дано: прямая а, 
(Рис. 2.)
Доказать: существует единственная прямая
Рис. 2.
Доказательство:
Через прямую a и точку 
, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость 
(Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.
Рис. 3.
Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости 
. Тогда плоскость проходит через точку и прямую а. Но через точку и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости и совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.
Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Рис. 4.
Доказательство: (Рис. 4.)
Существует некоторая плоскость , в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости . Значит, М – общая точка плоскостей и .
А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.
Прямая MN пересекается с прямой b. (так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости .
Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости . Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая b принадлежит плоскости (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и b параллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.
Теорема 2 и ее доказательство
Теорема 2.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Рис. 5.
Доказательство: (Рис. 5.)
Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость , проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости .
Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости . Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость . Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость , но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости . Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.
Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.
Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.
Итак, разберем на примере задач
Примеры задач с решением
Задача 1
Дано: М - середина BD; N - середина CD; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).
Найти: PMNQP - ?
Решение:
Задача 2.
Доказательство
Задача 3
Решение:
Домашнее задание
1. Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN.
