Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.
Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.
Через любую точку пространства перпендикулярно данной плоскости проходит прямая, притом только одна.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство: пусть a — прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
- Проведём произвольную прямую xчерез точку Aв плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.
- Отложим на прямой aот точки Aв разные стороны равные отрезки AM и AN.
- Треугольник MCNравнобедренный, так как отрезок ACявляется высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.
- Следовательно, треугольники MBCи NBCравны по трём сторонам.
- Из равенства треугольников MBCи NBCследует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.
- Из равенства сторон MXи NXэтих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
- Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
