Определение скрещивающихся прямых
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство
Теорема (признак скрещивающихся прямых)
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Доказательство
Пусть нам дана плоскость 
. Прямая АВ лежит в плоскости , а прямая DC пересекается с плоскостью в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.
Рис. 1
Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость 
, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - . Значит, такой плоскости , в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.
Возможные случаи расположения прямых
Три случая расположения прямых
1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С:
Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Рис. 2
2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Рис. 3
Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.
3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.
Рис. 4
Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде
Пример
Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?
Рис. 5
Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.
Теорема 2 и ее доказательство
Теорема 2.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство.
Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.
Рис. 6
Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная.
Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость . Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости , параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости , значит, что прямая DC параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.
Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость , которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость , а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость , по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости . Получили противоречие. Следовательно, плоскость – единственная. Теорема доказана.
Задача 1
Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M, N, P – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.
Рис. 7
1) ND и AB.
Прямая ND - это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.
2) PK и ВС.
Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N, P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.
3) MN и AB.
В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.
4) МР и АС.
В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.
5) КN и АС.
Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.
6) МD и ВС.
Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.
Задача 2
Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.
Доказательство
Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С, D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.
