1. Конспект для учителя по теме «Свойство параллельности прямых»

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости  и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и , которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.).

Нужно доказать, что:

Рис. 3.

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – В₁С₁. По первому свойству, линии пересечения ВС и В₁С₁ параллельны. Значит, треугольники АВС и АВ₁С₁ подобны. Получаем:

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1

Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В2 (Рис. 4.).

Найдите:

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂ = 2k = 12 см., следовательно, k = 6 см.

Тогда отрезок АА₂=3k=36=18, т.е. АА₂=18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

Ответ: АА₂ = 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂ = k, тогда длина отрезка:

по условию. Длина отрезка состоит из длин двух отрезков: АА₂ = АА₁+ А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит, 

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.

Вывод:

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

Домашнее задание

1. Точка О – общая середина каждого из отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁, которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВСи А₁В₁С₁ параллельны.
2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]