Главная
Математика
10 класс
2. Геометрия
2.11 Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Текущая страница

2. Конспект для ученика по теме «Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми»

2273

Содержание

Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО₁ (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₂А₂ и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Рис. 1.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О₁А₁ и параллельные лучи ОВ и О₁В₁ (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А₁О₁В₁, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

Рис. 2.

На стороне луча ОА и О₁А₁ выберем точки А и А₁ так, чтобы отрезки ОА и О₁А₁ были равны. Аналогично, точки В и В₁ выберем так, чтобы отрезки ОВ и О₁В₁были равны.

Рассмотрим четырехугольник А₁О₁ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О₁А₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А₁О₁ОА является параллелограммом. Так как А₁О₁ОА – параллелограмм, то стороны ОО₁ и АА₁ параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В₁О₁ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О₁В₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁О₁ОВ является параллелограммом. Так как В₁О₁ОВ – параллелограмм, то стороны ОО₁ и ВВ₁ параллельны и равны.

Рис. 3.

И прямая АА₁ параллельна прямой ОО₁, и прямая ВВ₁ параллельна прямой ОО₁, значит прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В₁А₁АВ. В этом четырехугольники стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁А₁АВ является параллелограммом. Так как В₁А₁АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А₁В₁ параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А₁О₁В₁. Стороны ОА и О₁А₁равны по построению. Стороны ОВ и О₁В₁также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А₁В₁ тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А₁О₁В₁равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А₁О₁В₁равны, что и требовалось доказать.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что

Рис. 4. Угол между двумя пересекающимимся прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а₁, параллельную прямой а, и прямую b₁, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а₁ и b₁ пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а₁ и b₁, угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О₁. Через точку О₁ проведем прямую а₂, параллельную прямой а, и прямую b₂, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а₂ и b₂ обозначим φ₁. Тогда углы φ и φ₁ - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.