Определение
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L
и уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти, используя формулу:
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид
Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
Примеры вычисления угла между прямой и плоскостью
Пример 1
Найти угол между прямой
и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.
Решение.
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
Пример 2
