Главная
Математика
10 класс
2. Геометрия
2.5 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Текущая страница

1. Конспект для учителя по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

3566

Содержание

Мы выделили базовые объекты стереометрии – точку, прямую, плоскость.

Точка может принадлежать прямой или плоскости, а может не принадлежать (рис. 1). Здесь все интуитивно понятно.

Рис. 1. Точка принадлежит прямой , точка не принадлежит прямой .

Поговорим о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим две прямые. На плоскости у нас было всего два варианта – прямые пересекаются или не пересекаются (параллельны) (рис. 2).

Рис. 2. Пересекающиеся прямые и , параллельные прямые и .

Эти два варианта останутся и в пространстве, если прямые лежат в одной плоскости. Но две прямые могут и не лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямую и произвольную точку, которая на ней не лежит. Как мы уже знаем, они задают плоскость. Понятно, что мы можем провести через точку множество прямых, не принадлежащих данной плоскости (рис. 3).

Рис. 3. Через точку плоскости можно провести множество прямых, не принадлежащих данной плоскости

Понятно, что все такие прямые не могут пересекать исходную прямую (иначе бы они имели две общие точки с плоскостью, а значит, принадлежали бы ей).

Кроме того, легко доказать, что любая из этих прямых не может лежать с исходной в одной плоскости. Действительно, если бы это было так, то через прямую и не лежащую на ней точку мы бы провели две различные плоскости, что противоречит теореме, которую мы доказали на предыдущем уроке.

Итак, получаем три возможных варианта взаимного расположения прямых в пространстве.

Пересекающиеся прямые: понятно, что они лежат в одной плоскости (рис. 4).

Рис. 4. Пересекающиеся прямые

Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, но не пересекаются (рис. 5).

Рис. 5. Параллельные прямые

Скрещивающиеся прямые. Не лежат в одной плоскости. Т.е. не существует плоскости, проходящей через эти две прямые (рис. 6).

Рис. 6. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые мы часто встречаем в жизни. Обратите внимание, что по рисунку обычно нельзя понять – скрещиваются прямые или пересекаются (рис. 7).

Рис. 7. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Мы уже знаем, что плоскость можно задать парой пересекающихся прямых. Можно добавить теперь еще способ – пара параллельных прямых также однозначно задает плоскость (рис. 8).

Рис. 8. Пара параллельных прямых однозначно задает плоскость

Если рассмотреть две случайные прямые в пространстве, то вероятность того, что они окажутся в одной плоскости, равна нулю. То есть они наверняка будут скрещивающимися. Если мы все-таки потребуем, чтобы они были в одной плоскости, то они окажутся пересекающимися. Параллельность же будет самым маловероятным событием.

Перейдем к взаимному расположению прямой и плоскости. В планиметрии такого вопроса не существовало. Плоскость была всего одна, и все прямые лежали в этой плоскости.

В стереометрии мы сформулировали аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

То есть прямая может полностью принадлежать плоскости. Если же она ей не принадлежит, то у нее не может быть больше одной общей точки с этой плоскостью.

Получаем еще два варианта расположения: прямая пересекает плоскость в одной точке или у прямой и плоскости нет общих точек. Здесь уже скрещиваемости быть не может: плоскость делит пространство на две части, и не пересекающая ее прямая должна лежать только в одной из этих частей, так что интуитивно ясно, что в этом случае прямая параллельна плоскости (рис.9).

Рис. 9. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Каждому варианту соответствует свое определение.

Прямая лежит в плоскости, если все ее точки принадлежат плоскости (рис.10).

Рис. 10. Прямая лежит в плоскости альфа.

Прямая пересекает плоскость, если только одна точка прямой принадлежит плоскости (рис.11).

Рис. 11. Прямая пересекает плоскость в точке .

Прямая параллельна плоскости, если ни одна точка прямой не принадлежит прямой (рис.12).

Рис.12. Прямая параллельна плоскости .

При переходе от планиметрии к стереометрии мы часто указываем на объекты, которые являются аналогами. Например, круг и шар – это аналогичные фигуры. Круг можно назвать двумерным шаром. У них идентичные определения с оговоркой на количество измерений.

Аналогом прямой на плоскости является плоскость в пространстве. Почему так, понять не сложно: у пространства – 3 измерения, у плоскости – 2, у прямой – 1. Получается, что у прямой на плоскости на 1 измерение меньше, чем у самой плоскости. Аналогично у плоскости в пространстве.

Такие объекты называют гиперплоскостями (прямая – гиперплоскость для плоскости, плоскость – гиперплоскость для пространства). Но для нас это не так важно.

Мы воспользуемся этой аналогией для определения возможного взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Вспомним, что две прямые на плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными.

Аналогично плоскости в пространстве могут или пересекаться, или быть параллельными (рис.13). Параллельными плоскости мы будем называть, если они не имеют общих точек.

Рис.13. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Признаки параллельности прямых и плоскостей

Рассмотрим несколько важных утверждений, которые следуют из рассмотренных ранее аксиом и определений.

В планиметрии была теорема о трех параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Такое свойство объектов называют транзитивностью, вспомним из алгебры:

Транзитивностью обладает и параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Так, если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу:

Это утверждение можно использовать в качестве признака параллельности прямых.

Чтобы доказать эту теорему, нам понадобится вспомогательная теорема (лемма).

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (рис.14).

Рис.14. Иллюстрация к лемме

Хоть это утверждение и кажется очевидным, но, так как оно не является аксиомой, его нужно строго доказать. Доказательство можно посмотреть ниже.

Доказательство леммы

Пусть прямые и параллельны и пересекает плоскость в точке (рис.15). Докажем,

что прямая тоже пересекает эту плоскость.

Рис.15. Иллюстрация к доказательству

Так как прямые параллельны, то существует плоскость , в которой они обе лежат. Точка принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, плоскости пересекаются, причем по некоторой прямой ,

проходящей через точку (рис.16).

Рис.16. Иллюстрация к доказательству

Так как эта прямая лежит в обеих плоскостях, то в плоскости лежат все три прямые a, b, p.

Так как через точку не могут проходить две параллельные прямые для , то пересекает в некоторой точке . Но тогда – общая точка и для прямой , и для плоскости альфа.

Получается, что прямая или пересекает плоскость альфа, или лежит в ней.

Но лежать в плоскости альфа она не может, иначе бы она лежала в обеих плоскостях,

а такая прямая у нас уже есть – это . Таким образом, остается только один вариант: пересекает плоскость альфа.

Доказано.

Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых

Пусть

Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим точку на прямой и проведем через прямую и эту точку плоскость альфа (рис.17).

Рис.17. Иллюстрация к доказательству

Покажем, что прямая лежит в этой плоскости. Если бы прямая пересекала плоскость альфа, то, по лемме о параллельных, прямая тоже пересекала бы эту плоскость, а вслед за ней и прямая по той же

лемме. Но лежит в плоскости, а не пересекает ее. Следовательно, не пересекает плоскость альфа. А так как она имеет с ней общую точку , значит, она лежит в плоскости альфа.

Итак, прямые и лежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, обе параллельные , что невозможно. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.

Доказано.

Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказать это утверждение легко. Если прямая параллельна прямой , которая лежит

в плоскости альфа, то не может пересекать альфа, иначе, по лемме о параллельных,обязана

тоже пересекать альфа, чего быть не может. Следовательно, прямая параллельна альфа.

Верно и обратное утверждение.

Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости есть прямые, ей параллельные.

Доказательство

Построить такую прямую легко. В самом деле, пусть прямая параллельна плоскости альфа (рис.18).

Рис.18. Иллюстрация к доказательству

Проведем через нее плоскость , которая пересекает плоскость альфа по прямой (рис.19).

Рис.19. Иллюстрация к доказательству

Прямые и будут параллельны. В противном случае они бы пересеклись, так как

лежат в одной плоскости . Но тогда бы прямая пересекла плоскость альфа, а она ей параллельна.

Понятно, что таких прямых в плоскости альфа бесконечно много. Чтобы их получить,

нужно чуть-чуть повернуть плоскость вокруг прямой . Или просто построить любую

прямую в плоскости альфа, которая параллельна прямой .

Доказано.

Теперь мы можем получить еще один признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна плоскости, то все прямые, параллельные данной прямой, либо параллельны плоскости, либо лежат в ней (рис.20).

Понятно, почему так. Если бы какая-то прямая пересекла плоскость, то все ей параллельные прямые тоже должны были бы это сделать по лемме о параллельных прямых, включая и исходную прямую, чего быть не может.

Рис.20. Иллюстрация к признаку параллельности прямой и плоскости

Скрещивающиеся прямые

Пока мы больше говорили о параллельных и пересекающихся прямых. Поговорим немного о скрещивающихся прямых. Для них есть простой и удобный признак.

Теорема

Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются (рис. 21).

Рис.21. Иллюстрация к теореме

Для доказательства нужно показать, что данные прямые не лежат в одной плоскости.

Доказательство

Итак, предположим, что существует плоскость, в которой лежат обе прямые (рис.22).

Рис.22. Иллюстрация к доказательству

Тогда эта плоскость проходит через прямую и точку C, т. е. совпадает с первой плоскостью,

а значит, и прямая лежит в плоскости, которую она должна на самом деле пересекать. Получили противоречие. Таким образом, прямые не могут лежать в одной плоскости, т. е. они скрещиваются.

Доказано.

Теорема

Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, и притом только одну (рис.23).

Рис.23. Иллюстрация к теореме

Доказательство

В самом деле, пусть есть две скрещивающихся прямые и . Через точку A проходит

единственная прямая , параллельная прямой (рис. 24).

Рис.24. Иллюстрация к доказательству

Две пересекающиеся прямые задают плоскость. Так как

лежащей в этой плоскости, то

Итак, мы построили плоскость, проходящую через и параллельную .

Почему она единственная? Любая другая плоскость, проходящая через будет пересекаться

прямой , но тогда, по лемме о параллельных, она будет пересекаться и прямой .

Через прямую тоже проходит плоскость, параллельная прямой . Нетрудно увидеть, что эти плоскости будут параллельны друг другу.

Докажем этот факт от противного. Проведем через плоскость, параллельную (рис.25).

Рис.25. Иллюстрация к доказательству

Если предположить, что она пересечет первую плоскость, то у них будет общая прямая.

Это прямая не может пересекать , иначе плоскость будет иметь общую точку с , а ведь она ей параллельна. Кроме того, эта прямая параллельна самой прямой , а следовательно, и . Т. е. эта прямая параллельна обеим пересекающимся прямым, чего не может быть.

Таким образом, через каждую из двух скрещивающихся прямых проходят плоскости, параллельные друг другу.

Доказано.

Итак, разберем на примере задач.

Задача 1.

Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости альфа, а его стороны пересекают плоскость в точках M и N. Доказать, что треугольники ABC и MBN подобны (см. рис. 43).

Доказательство:

Для начала отметим, что оба треугольника лежат в одной плоскости треугольника ABC.

Далее плоскость треугольника проходит через прямую , параллельную плоскости альфа и

пересекает плоскость альфа по прямой , значит, прямые и параллельны.

Задача свелась к планиметрической: в треугольнике ABC отрезок параллелен основанию . Осталось доказать подобие треугольников ABC и MBN. Это сделать легко: