1. Конспект для учителя по теме «Графики уравнений»

#Методики #Тексты #Тренажеры #Упражнения
422
2

Тема: Графики уравнений.



Здравствуйте! На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида 1  и системы рациональных уравнений вида _2022-12-18_180632231 

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.е. выполним обзор по графикам уравнений.

График линейного уравнения

    1. Линейное уравнение с двумя переменными 3

x, y – в первой степени; a,b,c – конкретные числа.

Пример:

2

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями – y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

5





6

В данном случае 7

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если 8  то 9  если 10  то 11 

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки  12

Значит, решением исходного уравнения является множество пар чисел 13 .

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар – сколько их? Бесчисленное множество.

График рационального уравнения

    1. 14

Это рациональное уравнение, 15

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем 16

Положим a ≠ 0 и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример:  17 

Построить график рационального уравнения.

18

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения: 19

Схематически изобразим график

(Рис. 2).

20

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знако-постоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

21

22

У уравнения 23  бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар (x.y), удовлетворяющих уравнению, но все  24 . А каким может быть x?

Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку  (x;x2 - x).

Решением исходного уравнения является множество пар  25 .

График уравнения – гипербола

    1. Построить график уравнения xy = 1.

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

26

Графиком функции является гипербола, функция не определена при x = 0.

27

Функция 28   убывающая.

Если x > 0 то y > 0; если x < 0 то y > 0.

Если мы возьмем точку с абсциссой 29 , то ее ордината будет равна 30

Решением исходного уравнения является множество пар 31 .

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции 32– тоже гипербола – будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

График уравнения окружности

    1. Уравнение окружности 33

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке Q(a;b), радиус равен R

(Рис. 4).

34

Рассмотрим конкретные примеры.

a) 35

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

36

37 – получили уравнение окружности с центром в т. Q(-2; 0); R = 2.

Построим график уравнения 38 

(Рис. 5).

39

b) Построить график уравнения (x + y + 1)(x - y + 1) = 0 

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

40

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т.е. двух прямых.

Построим его.

(Рис. 6).

41

Построим график функции y = -x - 1. Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет – будет возрастать или убывать?

Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

Для закрепления материала решим совместно следующие номера:

№ 1. Начертите график функции y = -x + 4.

№ 2. Начертите график функции 42 .

№ 3. Начертите график функции 43 .

Еще материалы по теме «19. Графики уравнений»



Хотите пойти учиться в колледж?
Выбирайте «Тьюторию»!

Поступление без ОГЭ и ЕГЭ. Обучаем перспективным профессиям
после 9 или 11 класса.

Жмите на баннер!
Текст прошел проверку у экспертов «ИнПро» ®
педагог по математике
педагог по математике
педагог по математике
Ирина Михайловна
методист образовательного холдинга «ИнПро»

Справочно:

Материалы подготовлены Федеральным образовательным сервисом «ИнПро»® – Лицензия Минобрнауки 22Л01 № 0002491.

Готовим детей к школе, а также подтягиваем по школьной программе по всей России в 40+ центрах и онлайн, в том числе в Вашем городе.

Бесплатная горячая линия: 8 800 250 62 49 (с 6 до 14 по Мск).


Следите за новостями в социальных сетях:


Нужен репетитор? Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.

Нужен репетитор?
Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.
Бесплатное занятие Бесплатное занятие