На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.
Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.
Пример 1.
Решить систему
Решение.
Полезно ввести новые переменные 
.
Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.
Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.
Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.
Решим систему методом подстановки.
Ответ: (5;-2).
Основные сведения о квадратных уравнениях
Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:
Квадратное уравнение в общем виде: 
.
Формула корней квадратного уравнения через дискриминант: 
.
Если b – четное число, имеем формулу: 
.
Напомним теорему Виета: если x1, x2 - корни квадратного уравнения
Верно и обратное: Если числа x1,x2 удовлетворяют системе 
, то они являются корнями квадратного уравнения 
.
Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на a≠0. Получим 
.
Получили новое уравнение относительно новой переменной ax = t;
Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).
Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение:
Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.
По теореме Виета 
.
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.
По теореме Виета 
.
Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.
Решение систем уравнений
После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:
Пример 4.
Решить систему
Решение: Произведем замену: 
;
Вернемся к исходной системе:
Пример 5.
Решить систему:
Решение:
Введем новую переменную: xy = a. Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.
Исходная система свелась к совокупности двух систем:
Каждую систему решаем методом подстановки.
Находим y при известных x.
Пример симметрической системы
Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.
Решение: Произведем замену
Получаем систему:
Мы ввели новые переменные, и нашли их.
Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:
Ответ: (1;2); (2;1).
Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.
Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы повышенной сложности.
