На этом уроке мы повторим три метода решения систем уравнений. Вспомним, что такое решить систему, что такое эквивалентность или равносильные преобразования. Вспомним, как решать системы уравнений графически. Далее решим ряд задач на решение систем уравнений различной комбинации.
Виды уравнений системы
На этом уроке мы рассмотрим основные методы решения систем. Система из двух уравнений с двумя неизвестными x, y имеет вид:
рациональные выражения от x, y.
Пара чисел (x,y), которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называется решением системы.
Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет.
Ключевое слово – все. Можно найти одно решение, второе, но нужно найти все пары, которые удовлетворяют системе.
Система состоит из отдельных уравнений. Рассмотрим примеры этих уравнений:
-
- Линейное уравнение вида ax + by + c = 0, где
т.е. хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю.
- Линейное уравнение вида ax + by + c = 0, где
Пример: 
Графиком данного уравнения является прямая линия
(Рис. 1).
Как выписать все решения данного уравнения? Они будут иметь вид: (x; 2x + 1),
Где 
Частые решения: 
-
- Уравнение окружности радиусом r с центром в точке Q(a;b).
Пример: 
центр в т. (0; 0), r = 5.
(Рис. 2).
Это одно уравнения с двумя переменными. Координаты любой точки этой окружности удовлетворяют уравнению окружности. Решений этого уравнения бесчисленное множество. Частные решения: (4; 3); (4; -3); (5; 0).
Рассмотрим пример системы из линейного уравнения и уравнения окружности. Решим систему графическим методом.
- Графический метод решения систем.
Решить систему 
Решение:
Прямая пересекает окружность в т. (0; 5) и (-5; 0). Это и есть решения системы.
Ответ: (0; 5) и (-5; 0).
Методы решения систем уравнений
Вспомним все изученные ранее методы решения систем уравнений:
- Графический метод.
- Метод подстановки.
- Метод алгебраического сложения.
- Метод введения новой переменной.
Каждый из этих методов, как правило, использует равносильные или эквивалентные преобразования уравнений. Напомним, равносильным или эквивалентным преобразованием уравнения называется такое преобразование, которое не искажает множество его решений.
Примеры равносильных преобразований:
-
- Перенос члена уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком.
Множество решений исходного и полученного уравнений не изменилось.
-
- Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
- Метод подстановки:
Рассмотрим метод подстановки. Его цель – получить одно уравнение с одним неизвестным.
Решить систему
Решение:
Ответ: (-3; 6); (2; 1).
Нужно ли проверять полученный ответ? Нет, т.к. мы использовали только равносильные преобразования. Если мы следим за эквивалентностью, проверка необязательна.
Геометрическая интерпретация, или геометрический метод решения той же системы:
(Рис. 4)
Точки пересечения – (-3; 6) и (2; 1) они и дают ответ.
- Метод алгебраического сложения
Цель та же: получить уравнение или два уравнения, в каждом из которых одна переменная.
Решить систему
Решение:
Ответ: (2; 2); (2; -2); (-2; 2); (-2; -2).
Метод алгебраического сложения привел к тому, что мы получили 2 уравнения, каждое из которых только с одной переменной.
- Метод введения новых переменных или метод замены переменных.
Решить систему
Решение:
Произведем замену: пусть xy = z. Тогда из (1)
Из системы (1), (2) получаем две более простых системы. Это главный результат замены переменной.
Решим первую систему методом подстановки.
Аналогично решаем вторую систему.
D = 1 - 4 x 4 x 6 < 0, нет решений.
Значит, вторая система не имеет решений.
Выписываем ответ исходной системы.
Мы рассмотрели различные системы рациональных уравнений и методы их решения. На следующем уроке мы приступим к изучению важной темы – числовые функции.
