2. Конспект для ученика по теме «Основные понятия, решение линейных неравенств»

1091

Давайте немного повторим.
Вы помните, что такое линейное уравнение?
Мы называем уравнение вида ax+b=0 – линейным, здесь коэффициенты а и b из множества действительных чисел, то есть практически любое число. Кстати, а почему оно называется линейным? Правильно, если нарисуем график решения нашего уравнения, то получается линия.

Как мы решали наше уравнение? То, что с х, мы оставляли слева от знака равно, а без х переносили на право, не забывая менять знак, то есть получали уравнение вида: ax=−b.

После делили на коэффициент при х и получали решение уравнения: x=−ba.
Ну что же, давайте перейдем к первой теме нашего курса.

Содержание

Линейные неравенства

Мы с вами вспомнили линейные уравнения, теперь давайте введем понятие линейного неравенства. Думаю вы догадались, что определения не будут сильно отличаться.
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенства вот такого вида: ax+b>0, где а и b значения из множества действительных чисел (a0). Вообще можно записать 4 вида неравенств:
ax+b>0ax+b<0ax+b≥0ax+b≤0

Значения переменной x, при котором наше неравенство становится верно – называется решением. Стоит заметить, что существует два вида решений: частное и общее. Общим решением называют все множество частных решений.

Давайте введем несколько правил при решении линейных неравенств:

Члены неравенства можно так же, как и в линейных уравнениях переносить из одно части в другую, не меняя знак неравенства.
Неравенство 3х<7, равносильно неравенству 3х−7<0.

Неравенство можно умножить и разделить на одно и тоже число большее нуля, не изменив при этом знак неравенства. Ребята, не забывайте что обязательно надо умножать или делить обе части неравенства!
Неравенство 3x<7, равносильно неравенству 6x<14 и 32x<72.

Неравенство можно умножить или разделить на отрицательное число, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный. Знак < изменится на >, ≤ на≥, и соответственно наоборот.
Умножим неравенство 3x−7<0 на минус один, получим: −3x+7>0.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение p(x), зависящее от х, и которое положительно при любом х, не изменив знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение p(x), зависящее от х, b которое отрицательно при любом х, поменяв знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Примеры решения линейных неравенств.

1. Решить неравенство:

3x−6<0.

Решение:
Способ решения аналогичен линейным уравнениям, перенесем -6 направо от знака неравенства 3x<6.
Мы можем разделить наше неравенство на любое положительное число, не меняя знака. Давайте раздели на 3 и получим решение: x<2.
Ответ: x<2.

2. Решить неравенство:

−3x+6<0.

Решение:
Выполним начальные действия: −3x<−6.
Разделим неравенство на -3, не забыв изменить знак: x>2.
Ответ: x>2.

3. Решить неравенство:

x4+(3x−2)8>x−116.

Решение:
Умножим наше неравенство на 16, получаем: 4x+2(3x−2)>16x−1.
Выполним необходимые действия: 4x+6x−4−16x>−1.
−6x>3.
Разделим неравенство на -6, поменяв его знак: x<−1/2.
Ответ: x<−1/2

4. Решить неравенство:

|2x−2|<4.

Решение:
Разделим неравенство на 2. Получим: |x−1|<2.
Решением нашего неравенство можно представить в виде отрезка координатной прямой. Середина отрезка будет находиться в точке x=1, а границы удалены на 2.
Нарисуем наш отрезок:
Открытый интервал (−1;3) – решение нашего неравенства.