Здравстуйте! На этом уроке мы будем рассматривать системы уравнений как математические модели реальных ситуаций. Здесь рассмотрим составление математических моделей различных ситуаций с помощью нелинейных систем на примере различных задач.
Решение задач с алгебраическим смыслом
Ранее мы уже составляли математические модели реальных ситуаций, но только те, которые описывались линейными системами. Сейчас мы научились решать нелинейные системы. Наша задача – научиться составлять математические модели с помощью нелинейных систем уравнений.
Задача 1. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найти эти числа.
Решение:
Первый этап – переведем словесную модель на математический язык. Пусть x и y – искомые числа.
По условию 
Эта нелинейная система представляет собой математическую модель реальной ситуации.
Второй этап – работа с математической моделью.
Ответ: 5 и 7.
Обсудим связь полученной системы с квадратным уравнением. Воспользуемся теоремой Виета:
Это еще один способ решения системы.
Задача 2. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше их произведения?
Решение:
Получим математическую модель. Пусть xy = 10x + y – искомое число, x и y его цифры. x + y – сумма цифр искомого числа, xy – произведение цифр. Составим систему.
Число двузначное, т.е. x = 1, 2, …, 9;
Ответ: 24.
Задача 3. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то дробь станет равна 
. А если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 122. Найдите эту дробь.
Решение:
Пусть x – числитель дроби, y – знаменатель дроби, – искомая дробь.
(методом подбора)
(по т.Виета) – не подходит по условию задачи.
Ответ: 
Решение задач с геометрическим смыслом
Задача 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см. Его гипотенуза равна 37 см. Найти площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
Дан прямоугольный 
Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника.
Тогда по условию задачи
Нам необходимо найти 
, поэтому отдельно находить x и y не нужно.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения:
Ответ: 210 см².
Задача 5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, гипотенуза – 41 м. Найти площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника. Тогда
Возведем в квадрат обе части первого уравнения, получаем:
Ответ: 180 см².
Мы решили текстовые задачи, перевели русский язык на математический, получили нелинейные математические модели, решили их, и получили решения исходных задач. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на движение.
