Конспект для учителя
Раздел: Прогрессии
Тема: Последовательности. Арифметическая и геометрическая последовательности.
На этом уроке мы поговорим о том, чем последовательность отличается от набора чисел, какими способами можно задавать последовательность. А также выделим две часто встречающихся последовательности, члены которых удовлетворяют особым условиям – арифметическую и геометрическую прогрессии.
Последовательность как математический инструмент
Само слово «последовательность» мы часто используем в обычной жизни. Чем последовательность отличается от произвольного набора? Тем, что в последовательности важен порядок ее элементов. Например, мы говорим про алгоритм, т. е. про последовательность действий, когда нам важно, что нужно сделать первым, что вторым и т. д. Так, мы сначала надеваем рубашку, потом – пиджак. А вот разницы, какой носок сначала надеть – левый или правый – для нас обычно нет.
Последовательность как математический инструмент
Само слово «последовательность» мы часто используем в обычной жизни. Чем последовательность отличается от произвольного набора? Тем, что в последовательности важен порядок ее элементов. Например, мы говорим про алгоритм, т. е. про последовательность действий, когда нам важно, что нужно сделать первым, что вторым и т. д. Так, мы сначала надеваем рубашку, потом – пиджак. А вот разницы, какой носок сначала надеть – левый или правый – для нас обычно нет.
Числовая последовательность
Мы будем изучать числовые последовательности, т. е. последовательности, элементами которых являются числа.
Номер телефона можно считать числовой последовательностью: 8(495)2447834 . Пин-код кредитной карты или телефона тоже примеры числовых последовательностей: 7643 .
Это действительно последовательности, а не наборы чисел – если поменять местами цифры в номере телефона, то получится совершенно другой номер. А введя нужные цифры пин-кода, но в неправильном порядке, вы не разблокируете смартфон.
Приведенные выше примеры числовых последовательностей – это конечные последовательности, ведь они содержат конечное количество элементов. Могут быть и бесконечные последовательности. Ряд натуральных чисел – это простейший пример бесконечной числовой последовательности:
1, 2, 3, 4, 5, …
Поскольку одна из функций натуральных чисел – это задание порядка, то логично, что именно натуральные числа мы будем использовать для нумерации других последовательностей.
Например, последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Первое простое число – 2 , второе простое число – 3 , третье – и т. д. Для удобства записи принято обозначать элементы последовательности латинскими буквами, а их номер указывать индексом. Например, в последовательности простых чисел a :
.jpg)
При этом элементы числовой последовательности принято называть членами последовательности.
Возрастающая и убывающая последовательности
Как мы уже сказали, последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Соответственно, для работы с последовательностями нам пригодятся все те навыки, которые мы приобрели при работе с функциями. Кроме того, характеристики функций можно использовать и для описания последовательностей.
Например, возрастающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член больше предыдущего:
И наоборот, убывающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член меньше предыдущего:
Задание 1. Найти первый отрицательный член последовательности:
Решение.
Член последовательности должен быть отрицательным:
Решаем неравенство:
Рекуррентный способ задания последовательности. Числа Фибоначчи
Существует еще один способ задать последовательность. Можно задать один или несколько первых членов последовательности и правило, по которому следует искать последующие члены. Например, первый член последовательности равен единице, каждый следующий равен квадрату предыдущего плюс 1.
Записать мы это можем так:
Действительно, для -го члена последовательности предыдущим является 
.
Такой способ задания последовательности (следующий член через один или несколько предыдущих) называется рекуррентным.
Рекурсия и фракталы
Одним из самых известных примеров рекурсии в литературе является стихотворение: «У попа была собака…». В информатике рекурсивной называется функция или процедура, которая вызывает сама себя. Поэтому способ задания следующих членов последовательности через предыдущие называется рекуррентным.
Еще один пример самоподобного математического объекта – это фрактал. Определение фрактала можно сформулировать так: фрактал – это множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближенно совпадающий с частью себя самого, т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
Наиболее известная рекуррентная последовательность – это последовательность чисел Фибоначчи. В ней первые два члена равны 1, каждый следующий равен сумме двух предыдущих:
Задание 3. Найти все члены последовательности Фибоначчи, не превышающие 20.
Решение.
Первые два члена последовательности Фибоначчи:
Ищем остальные члены, используя рекуррентную формулу:
Числа Фибоначчи
Последовательность чисел Фибоначчи – одна из самых популярных числовых последовательностей. И связано это с тем, как часто она встречается.
Возникла она в результате анализа идеальной биологической модели: есть пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после рождения у них начинает появляться потомство – одна пара кроликов каждый месяц, каждая из которых также начинает производить потомство со второго месяца после рождения (см. рис. 1). Сколько пар кроликов будет через год?
Рис. 1. Идеальная биологическая модель
В начале первого и второго месяца у нас одна пара:
В начале третьего месяца у первой пары появляется потомство:
В начале четвертого месяца у первой пары появляется второе потомство:
В начале пятого месяца у первой и второй пары появляется потомство (см. рис. 2):
Рис. 2. Количество пар кроликов с первого по пятый месяц
Получаем, что в начале n-го месяца количество пар будет равно количеству пар в предыдущем месяце + количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар два месяца назад (см. рис. 3):
Рис. 3.
В начале n-го месяца количество пар будет равно количеству пар в предыдущем месяце + количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар два месяца назад.
Существует много различных утверждений, связанных с числами Фибоначчи в окружающей природе: так, считается, что расположение листьев у растений описывается последовательностью чисел Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветов и даже ячейки ананаса также описываются этой последовательностью.
Вместе с тем ряд исследователей подвергают сомнению эти утверждения и доказывают, что все полученные результаты – это подгонка под желаемый результат.
Но есть один факт о числах Фибоначчи, который не подлежит сомнению – следующее отношение:
Это число называется золотым сечением.
Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей как большая ко всему отрезку (см. рис. 4):
Рис. 4.
Деление отрезка AC на две неравные части так, что меньшая часть AB относится к большей части BC как большая часть DC ко всему отрезку AC.
Позже это понятие было распространено на произвольные величины.
Золотое сечение использовалось и используется во многих произведениях искусства (см. рис. 5), а также встречается в живой природе (см. рис. 6).
Рис. 5. Пример золотого сечения в искусстве – картина В.И. Сурикова «Боярыня Морозова»
Рис. 6. Пример золотого сечения в живой природе
Арифметическая прогрессия
Рассмотрим ряд натуральных чисел:
По сути, его тоже можно задать рекуррентным соотношением. Первый член последовательности равен , каждый последующий – на единицу больше:
А что, если будем прибавлять не 1, а 2? Получим:
Или начнем не с , а с и будем прибавлять по ? Получим:
Все эти последовательности обладают одной особенностью: каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число.
Такие последовательности, поскольку они часто встречаются, имеют отдельное название – арифметическая прогрессия. О причинах такого названия мы скажем чуть позже.
Любой процесс, в котором через определенные промежутки времени происходит увеличение или уменьшение на одну и ту же величину, описывается именно арифметической прогрессией.
Например, так называемые «простые проценты». Если банк начисляет вам каждый год 10%, но только на сумму первоначального вклада (к примеру, 10 000 рублей), то через год на счету будет 11 000 рублей, через 2 – 12 000, через 3 – 13 000 и т. д.
Почему «разность арифметической прогрессии»? Да потому что разность между двумя соседними членами арифметической прогрессии всегда равна :
Теперь мы можем сказать, почему прогрессия называется арифметической. Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:
Мы знаем, что:
Тогда:
Т. е. любой член прогрессии является средним арифметическим своих соседей. Отсюда и название – арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия
Вернемся к примеру с начислением процентов. Предположим, банк начисляет 10% годовых не только на сумму первоначального вклада, но и на всю сумму денег на счету (в том числе и на уже начисленные проценты). Такая схема называется сложными процентами.
Тогда через год на сумму в 10 000 рублей при ставке 10% начислится 1000 рублей процентов, в результате будет:
Т. е. каждый год сумма вклада будет увеличиваться в одно и то же количество раз.
Такая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число, называется геометрической прогрессией. О названии, опять же, чуть позже.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать первый член последовательности 
, на которое будем умножать. Получим:
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии, поскольку это частное соседних членов прогрессии:
Теперь мы можем сказать, почему прогрессия называется геометрической.
Задание на определение арифметической и геометрической прогрессий
Сейчас разберем задание на определение арифметической и геометрической прогрессий.
Задание 1. Определить значение x , при котором числа 18, x, 2 образуют:
- арифметическую прогрессию;
- геометрическую прогрессию.
Найти разность и знаменатель этих прогрессий.
Решение
Разность прогрессии получилась отрицательной. Но в этом нет ничего страшного. Это всего лишь значит, что прогрессия будет убывающей:
- Чтобы числа образовывали геометрическую прогрессию необходимо, чтобы частное соседних чисел было одинаковым и равнялось знаменателю геометрической прогрессии :
Соответственно:
Заключение
Числовая последовательность – это упорядоченный набор чисел. Члены последовательности удобно нумеровать натуральными числами. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.
Частные случаи последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.
В арифметической прогрессии каждый последующий член равен сумме предыдущего и разности прогрессии:
В геометрической прогрессии каждый последующий член равен произведению предыдущего на знаменатель прогрессии:
