Здравствуйте! На этом уроке мы начнем изучение решения систем из двух уравнений. Вначале дадим определение рационального уравнения, зависящего от двух переменных и его решения. Рассмотрим примеры таких уравнений и их графики. Дадим определение равносильных уравнений и правила равносильных преобразований. Рассмотрим построение графиков для некоторых типовых уравнений.
Далее дадим определение системы двух уравнений и рассмотрим решение систем графическим методом.
Рациональное уравнение. Примеры.
Рациональным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида где рациональное выражение (т.е. алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных и с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень).
Например:
Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел, которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
Пример линейного уравнения
Ранее мы рассматривали линейное уравнение с двумя переменными . Линейное уравнение имеет бесчисленное множество решений, график линейного уравнения – прямая линия.
Рассмотрим пример:
Найти хотя бы одно решение уравнения x - 2y=2 .
Зададим x = 0.
Тогда 
– решение уравнения x - 2y=2.
Если задана одна переменную, то вторую можно найти.
Итак, основные понятия сводятся к следующему:
p(x,y) = 0 называется уравнением с двумя переменными. Частным решением такого уравнения называется любая пара чисел , которая удовлетворяет уравнению. Но наша задача – найти все решения этого уравнения, т.е. множество всех пар чисел, которые удовлетворяют уравнению.
Примеры уравнения окружности
Мы рассмотрели линейное уравнение, теперь рассмотрим уравнение.
Вспомним, что – уравнение окружности с центром в т.(0;0) и радиусом 1
(Рис. 1).
Любая точка на этой окружности имеет две координаты – x и y, и эти координаты удовлетворяют уравнению, значит, координаты любой точки на окружности являются решением данного уравнения.
Например,
.
(1;0) является решением уравнения.
(0;-1) также является решением уравнения.
Основные определения
Иногда удается перейти к геометрической (графической) модели уравнения с двумя переменными, т. е. построить график уравнения. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Мы рассматриваем одно уравнение с двумя переменными. Частным решением этого уравнения является любая пара чисел, ему удовлетворяющая.
Геометрический образ этой пары – точка на плоскости. Множество всех пар называется решением данного уравнения.
Графиком уравнения называется такая линия, координаты всех точек которой удовлетворяют данному уравнению.
Графиком уравнения 
является окружность. Графиком линейного уравнения является прямая линия.
Уравнение окружности и линейное в общем виде
Рассмотрим уравнение окружности и линейное уравнение в общем виде.
Уравнение окружности в общем виде:
Это окружность с центром в точке Q(a;b) и радиусом R.
Дадим геометрическую интерпретацию данного уравнения
(Рис. 2).
Координаты любой точки на этой окружности – это пара чисел, которые удовлетворяют уравнению окружности.
Система уравнений с двумя переменными:
Если поставлена задача найти такие пары чисел (x;y), которые одновременно удовлетворяют уравнению p(x,y) = 0 и уравнению q(x,y) = 0, то получаем систему уравнений с двумя переменными
Решением данной системы уравнений называется такая пара чисел, которая является одновременно решением и первого уравнения, и второго. Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.
Иногда удается решить систему уравнений графическим методом: построить график первого уравнения, построить график второго уравнения, найти точки пересечения графиков; координаты каждой точки пересечения являются решением системы.
Для закрепления материала решим системы двух уравнений с двумя переменными:
№ 1. Решите систему уравнений
.png)
В ответ запишите х + у.
№ 2. Решите систему уравнений
.png)
В ответ запишите х - у.
№ 3. Решите систему уравнений
В ответ запишите х + у.
№ 4. Решите систему уравнений
В ответ запишите х + у.
№ 5. Решите систему уравнений
В ответ запишите х + у.
