Тема: Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности
Раздел: решение различных задач по комбинаторике
Сегодня на занятии мы продолжим заниматься решением комбинаторных задач с использованием основных комбинаторных правил, формул и методов.
1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Решение. Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так.
Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары:
Б, г; б, к; б, с; б, п (4 пары).
Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда:
Р, г; р, к; р, с; р, п (4 пары).
Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 24=8.
Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.
Ответ: б, г; б, к; б, с; б, п; р, г; р, к; р, с; р, п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.
- Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?
Решение.
Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А.
Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила.
Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д.
Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД.
Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС.
Общее количество способов выбора: 4х3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).
Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4х3=12.
Ответ: 12 способов.
- Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:
а) 1, 6, 8; б) 0, 3, 4.
Решение.
а) Выбираем поочерёдно:16, 18, 61, 68, 81, 86. Всего 6 различных чисел.
б) Выбрать первый 0 мы не можем (число должно быть двузначным), поэтому выбираем на первую позицию только вторую и третью цифры 30, 34, 40, 43. Всего четыре различных двузначных числа.
Ответ: а) 16, 18, 61, 68, 81, 86; б) 30, 34, 40, 43.
- В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Решение.
Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).
Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами; по правилу произведения всего можно образовать 98=72 пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов.
Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно.
Ответ: 36 партий.
