Здравствуйте! В этом уроке мы рассмотрим задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу.
Решение простейшей задачи
Задача 1.
Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Решение:
Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения: 
S – расстояние,
V – скорость,
T – время.
Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит 
часа.
Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель.
Если лодка движется по течению, то она имеет скорость x + y км/ч и пройдет 14 км за время 
Если лодка движется против течения, она идет со скоростью км/ч и пройдет 14 км за время 
Мы получили математическую модель. То же самое можно получить с помощью таблицы.
Решим полученную систему.
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
Решение опорных задач
Перед тем как приступить к более сложным задачам, решим две опорные задачи на движение.
-
- Первая опорная задача (сближение).
Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу два поезда.
Дано: AB = S.
x, y – скорости поездов, км/ч.
Найти: Время t до их встречи, и расстояния 
и 
, пройденные до момента их встречи каждым из поездов.
Решение:
Найдем скорость сближения: 
Найдем время t до встречи: 
Найдем искомые расстояния: 
Ответ: 
-
- Вторая опорная задача.
Первый турист вышел из пункта А. Одновременно второй турист вышел из пункта В. Оба двигаются в направлении луча АВ. Первый догнал второго в пункте С.
Дано: AB = S.
x, y – скорости первого и второго туристов, км/ч.
Найти: Время t до встречи туристов, расстояния и , пройденные первым и вторым туристами до встречи.
Решение:
Найдем скорость сближения: 
Найдем время t до встречи: 
Найдем искомые расстояния: 
Ответ: 
Решение задач
Задача 2.
Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда.
Решение:
Пусть x км/ч, y км/ч – скорости первого и второго поездов.
S – расстояние между городами.
Рассмотрим вначале первый случай. Легко увидеть, что это задача на сближение, т.е. мы сможем пользоваться данными, полученными в первой опорной задаче.
700 км оба поезда пройдут за 5 часов со скоростью сближения x + y, т.е. 
Второй случай: те же условия, но первый поезд начал движение через 7 часов после второго. За 7 часов второй поезд прошел 7y км, осталось (700 – 7y) км, и только тогда начинает движение первый поезд. Начинается сближение. Поездам нужно пройти (700 – 7y) км с общей скоростью x + y и они встретятся через 2 часа, т.е. 
Мы получили математическую модель.
Упростим полученные уравнения.
Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.
Задача 3.
Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?
Решение:
Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, y км/ч – скорость течения реки.
Время движения переведем в часы, 4 часа 40 минут = 
часа.
Опишем первый рейс: 
Из А в С лодка шла 45 км по течению со скоростью x + y км/ч, время в пути составило 
ч.
Из С в В лодка шла 15 км против течения, т.е. 
ч.
Суммарное время в пути составило 
ч, т.е. 
.
Опишем второй рейс: 
Из С в А лодка шла 45 км против течения, т.е. была в пути 
ч.
Из А в В шла 30 км по течению, т.е. была в пути 
ч. Общее время в пути составило 7 ч, т.е. 
.
Решаем полученную систему:
Произведем замену переменных:
Переходим к старым переменным:
Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч.
Мы рассмотрели текстовые задачи на движение, составили для них математические модели и решили полученные системы. На следующем уроке будут рассматриваться задачи на работу.
