Конспект для учителя

На этом уроке мы будем рассматривать основные свойства числовой последовательности.

Вначале вспомним определение числовой последовательности и рассмотрим несколько примеров последовательностей. Далее начнем исследование последовательностей на монотонность, убывание и возрастание. И рассмотрим ряд примеров на исследование последовательностей.

Повторение

Числовая последовательность является частным случаем функции, а именно, это функция, заданная на множестве натуральных чисел. А если так, то многие свойства функции и свойства последовательности идентичны, в том числе и свойство монотонности.

Примеры монотонных последовательностей, связанных с линейной функцией

{5; 8; 11; 13;…}- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Проиллюстрируем это на графике.

Если бы мы строили график функции у=3х+2, то мы получили бы прямую (см. Рис. 1). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

По свойствам линейной функции, если к=3>0, эта функция возрастает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция возрастает, то и соответствующая последовательность возрастает.

Мы можем заметить, что это убывающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции y=2-3х, то мы получили бы прямую (см. Рис. 2). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

По свойствам линейной функции, если к=-3<0, эта функция убывает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция убывает, то и соответствующая последовательность убывает.

Сделаем вывод для последовательностей, которые связаны с линейной функцией.

Примеры монотонных последовательностей, связанных с функцией

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь гиперболы (см. Рис. 3). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны.

Функция убывает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция убывает, то и соответствующая последовательность убывает.

Отметим еще одно свойство: данная последовательность имеет наибольший член – это 1 и не имеет наименьшего члена.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь гиперболы (см. Рис. 4). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны.

Функция возрастает. Последовательность – частный случай этой функции. Если эта функция возрастает, то и соответствующая последовательность возрастает.

Отметим еще одно свойство: данная последовательность имеет наименьший член – это -1 и не имеет наибольшего члена.

Вывод для последовательностей, которые связаны с функцией

Последовательность является возрастающей при к<0 и убывающей при к>0.

Примеры монотонных последовательностей, связанных с квадратичной функцией

Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это возрастающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь параболы (см. Рис. 5). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой .

- члены этой последовательности.

Мы можем заметить, что это убывающая последовательность.

Графическая иллюстрация.

Если бы мы строили график функции , то мы получили бы ветвь параболы (см. Рис. 6). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

Сделаем вывод для последовательностей, которые связаны с квадратичной функцией.

Отметим, что свойства функции и свойства последовательности во многом связаны.

Пример немонотонной последовательности

Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на монотонность.

Вычислим несколько членов последовательности и убедимся, что она то убывает, то возрастает.

Числа - члены заданной последовательности.

Ответ: последовательность немонотонная.

Наглядно это иллюстрируется графиком.

Построим график функции (см. Рис. 7). Точки на графике соответствуют членам заданной последовательности.

График наглядно показывает, что эта последовательность немонотонная.

Требуется найти наименьший член этой последовательности. По графику видно, что если х=4 или n=4, то принимает самое наименьшее значение. Это наименьшее значение равно -1.