Конспект для учителя

Конспект для учителя

Раздел: Прогрессии

Тема: Свойства прогрессий. Решение задач

Из множества различных последовательностей мы выделили два особых вида, которые чаще всего встречаются при решении различных практических задач, – арифметическую и геометрическую прогрессии. Они отличаются тем, что их члены связаны особыми условиями: у арифметической прогрессии каждый следующий отличается от предыдущего на одно и то же число, а у геометрической – в одно и то же число раз.

На этом уроке мы выведем формулы для суммы первых членов прогрессий, а также решим различные задачи на эту тему.

Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

Вспомним, что в арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему некоторого числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии:

В геометрической прогрессии, чтобы получить следующий член, предыдущий необходимо умножить на некоторое число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии:

Такие соотношения называются рекуррентными, поскольку они выражают следующий член последовательности через предыдущие. Но для вычислений это не всегда удобно.

Задача 1. Тяжелоатлет Вася при подготовке к соревнованиям решил каждую неделю увеличивать массу штанги на 3 кг. Начал он со 110 кг. Штангу какой массы он будет поднимать к 18-й неделе тренировок?

Решение.

Отметим, что значения массы штанги в разные недели – это арифметическая прогрессия. Первый ее член , разность прогрессии d = 3. Нужно найти 18-й член этой прогрессии, т. е. . С помощью рекуррентной формулы это делать долго:

Можно ли как-то ускорить процесс подсчета?

Вспомним, что последовательность еще можно задать с помощью формулы n-го члена (аналитически). Попробуем это сделать для произвольной арифметической прогрессии. Выпишем первые члены:

Видим, что для получения, например, 4-го члена нам нужно к первому члену прибавить d 3 раза. Соответственно, чтобы получить n-й член прогрессии, мы должны d прибавить раз. Получаем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

Аналогично можно получить и формулу n-го члена геометрической прогрессии. Снова выпишем первые несколько членов:

Как и в случае с арифметической прогрессией, обобщим результат. Для получения n-го члена нужно умножить первый член на знаменатель прогрессии раз. Получим формулу n-го члена геометрической прогрессии:

Итак, арифметическую и геометрическую прогрессию можно задать с помощью формулы n-го члена. В этих формулах присутствует два параметра – числа, которые определяют прогрессию: первый член и разность d или знаменатель q в арифметической и геометрической прогрессии соответственно. Эти формулы можно преобразовать и получить в несколько другом виде. Подробнее об этом ниже.

Видим, что арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента (см. рис. 1).

Рис. 1. Арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента

Т. е. геометрическую прогрессию еще можно назвать показательной функцией натурального аргумента (см. рис. 2).

Рис. 2. Геометрическая прогрессия является показательной функцией натурального аргумента

Сведение задачи с n-м членом к решению системы уравнений

В целом формулы n-го члена прогрессии достаточно для работы с прогрессиями. Какие бы ни были условия, мы всегда можем записать каждый член прогрессии в общем виде. Затем получится система уравнений, неизвестными в которой могут быть номер члена прогрессии, первый член . Решаем систему, получаем ответ.

Свойства арифметической и геометрической прогрессий

Описанный метод сведения задачи к решению системы уравнений сработает всегда. Но иногда полученная система будет достаточно сложной или ее решение будет занимать много времени. Для облегчения задачи удобно использовать некоторые свойства, присущие членам арифметической или геометрической прогрессий.

Мы уже знаем, почему прогрессия называется арифметической: каждый ее член является средним арифметическим своих соседей:

и формулируют так: любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Аналогичное свойство можно получить и для геометрической прогрессии. Мы обсуждали, что любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому своих соседей:

Это свойство формулируют так: любой член геометрической прогрессии равен по модулю среднему геометрическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Интересно, что эти свойства прогрессий также являются и признаками этих прогрессий. Т. е. если указанные соотношения выполняются для всех членов последовательности, то она является, соответственно, арифметической или геометрической прогрессией.

Доказательство свойств

Рассмотренные свойства прогрессий можно еще обобщить. В арифметической прогрессии если сумма индексов двух членов прогрессии равна сумме индексов двух других, то суммы этих членов прогрессии также равны:

Аналогичным образом доказывается свойство и для геометрической прогрессии.

Доказано.

Задание 2. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию , в которой сумма крайних членов равна 27, а произведение средних – 72.

Решение.

Формулы суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий

Иногда вам могут встретиться задачи, в которых фигурирует сумма членов прогрессии. Например, в магазине канцтоваров действует акция: первая ручка стоит 30 рублей, а каждая следующая стоит на 1 рубль дешевле предыдущей. Сколько вы потратите при покупке 10 ручек?

Тут нужно считать: . Можно ли как-то быстро вычислить эту сумму? И вообще научиться вычислять сумму членов арифметической прогрессии, зная первый член и ее разность?

Полученные формулы не очень удобны: в них для вычисления нужно знать n-й или (n + 1)-й член. Мы говорили, что прогрессия однозначно задается первым членом и разностью (знаменателем). Попробуем преобразовать формулы, чтобы можно было вычислять сумму, зная только эти характеристики прогрессии.

Формулы для суммы прогрессий можно преобразовать, используя формулу общего члена прогрессии:

Сведение задачи с суммой первых членов к решению системы уравнений

Задание 4. Чтобы заасфальтировать участок длиной 117 м, используют два катка. Первый каток установили на одном из концов участка, второй – на противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту первый каток прошел 1 м, за каждую следующую минуту он проходил на 0.5 м больше, чем за предыдущую. Второй каток за каждую минуту проходил 6 м. Через сколько минут оба катка встретятся?

Решение.

Составим математическую модель задачи. Пусть два катка встретятся через n минут, тогда второй каток проедет до встречи путь, равный 6n м, а первый проедет путь, который можно выразить с помощью суммы арифметической прогрессии, где :