Соотношение между сторонами и углами - теорема о площади треугольника, теорема косинусов, теорема синусов.
Повторение теории начнем с основ.
1) S=Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
2) Теорема синусов: а относится к синусу противолежащего угла a так же, как в относится к синусу противолежащего угла b так же, как с относится к синусу своего противолежащего угла g. В этом суть теоремы синусов.
И далее есть очень важное следствие. Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности. Это удивительное следствие. Чтобы найти радиус, оказывается, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.
3) Теорема косинусов.
Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Применительно к с имеем:
с2=а2+в2-2ав.
После сделанных напоминаний приступим к решению конкретных задач.
Задача 1.
Дано:
В треугольнике АВС АВ=8см, прилежащий ÐА=30º, другой прилежащий ÐВ=45º.
Требуется: решить этот треугольник, т. е. найти остальные углы и стороны, а именно, ÐС, сторону АС, которую мы обозначили как в, сторону ВС, которую обозначили как а. Стандартные обозначения здесь сохраняются.
Решение:
1) <C = 180° - (30° + 45°) = 180°–75° = 105° (по теореме о сумме углов в треугольнике);
2) По теореме синусов:
AB/sin
8/sin 105°= AC/sin 45° => AC= 8sin 45°/sin 105° =5, 8564
8/sin 105°= BC/sin 30° => BC = 8sin 30°/sin 105° =4, 1411
Ответ: ÐС=105º, АС≈6см., ВС≈4см. Задача решена.
Треугольники входят в состав многих фигур, например трапеций, параллелограммов. Поэтому решение треугольников позволяет решать задачи с этими фигурами. Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.
Задача 2.
Смежные стороны параллелограмма равны а и в, один из углов равен a.
Найдите диагонали параллелограмма.
Рис 1.
Дано:
АВСД – параллелограмм
АВ=в, АД=а, ÐВАД=а
Найти: одну диагональ ВД, вторую диагональ АС.
Решение:
1) ВД2=а2+в2-2ав
2) АС2=а2+в2-2ав а2+в2+2ав
Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника.
Диагональ ВД входит в треугольник АВД. В этом треугольнике, как мы говорили, известны две стороны и угол между ними. Значит, квадрат стороны ВД2 – сумма квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними ВД2=а2+в2-2ав
Квадрат известен, стало быть, и само ВД известно ВД=а2+в2-2ав
Часть ответа есть, одна диагональ найдена из первого треугольника.
Вторая диагональ АС входит в треугольник АСД. Используем свойство параллелограмма. Если это сторона в, то эта сторона тоже в. Противоположные стороны параллелограмма равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. Стало быть, если это угол а, угол при вершине Д=180º-а
После этих замечаний применяем теорему косинусов для треугольника АСД АС2=а2+в2-2ав
Учитываем знак, получаем а2+в2+2ав
Квадрат диагонали известен, значит, АС= а2+в2+2ав
Задача решена.
Теорема косинусов для треугольника позволяет вывести важное метрическое свойство для параллелограмма.
Формулировка задачи.
Задача 3.
Докажите: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Дано:
АВСД – параллелограмм
d1, d2 – его диагонали, а, в – стороны. Один угол g, следовательно, другой угол 180º-g
Требуется доказать: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон;
Доказательство:
1) Пусть дан параллелограмм ABCD, докажем, что справедливо равенство:
AC2 + BC2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2;
2) По свойству параллелограмма:
AB = CD, BC = DA и AB II CD, отсюда следует, что AD = BC;
2) По правилу треугольника сложения векторов:
AB + BC = AC;
AB + BD = AD = BC, отсюда BD = BC - AB;
3) Возведем полученные равенства в квадрат:
AC2 = (AB + BC)2 = AB2 + 2• AB BC + BC2;
BD2 = (BC - AB)2 = BC2 - 2• BC• AB + AB2;
4) Сложим обе части полученных равенств, тогда:
AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2);
5) Так как квадрат вектора равен квадрату его модуля, а модуль вектора
равен длине отрезка его изображающего, то AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2),
что и требовалось доказать.
Мы видели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма. И даже устанавливает свойство параллелограмма.
В следующей задаче, как мы увидим, наоборот.
Теперь выведенное свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника. Формулировка задачи.
Задача 4.
Найти медиану АА1 треугольника АВС, если АВ=с, ВС=а, СА=в
Итак, есть треугольник, стандартные обозначения сторон: а против вершины А; в против вершины В; с против вершины С.
А1 – середина ВС, АА1 –медиана ma, таково ее обозначение. Даны три стороны, найти медиану.
Рис 2.
1) BB1 = BA + AB1 = -AB + 1/2AC = -b + 1/2 а.
2) CC1 = CB + BC1 = CA + AC1 = -AC + 1/2AB =а+1/2 b
3) BC= BA+ AC=-AB+ AC=-b + а.
4) AA1 = AB + BA1 = AB +1/2BC = b +1/ 2(а- b) = b+1/2а-1/2 b=1/2 b+1/2а
Задача решена.
В следующей задаче используется теорема о площади треугольника.
Задача 5.
Докажите, что три медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Доказательство:
АР - медиана, значит ВР = PC (по определению);
ВО - медиана, значит АО = ОС (по определению);
CМ - медиана, значит АМ = MB (по определению);
Пусть Sabc = S, тогда:
Sabо=1/2АО•h и Sobc=1/2ОC•h (h - общая), значит Sabо= Sobc=S/2
Sabp = 1/2 BP • h и Sapc = 1/2 PC h (h - общая), значит Sabp = Sapc = S/2
Samc = 1/2 AM• h и Smbc = 1/2 MB• h (h - общая), значит Samc = Smbc=S/ 2
3) Sabp + Samc - Same + Sepc = S;
S/2 + S/2 - S= -Sepc + Same, oтcюдa Same = Sepc;
Saem = Smbe (общая высота; AM = MB)
Sebp = Sepc (общая высота; BP = PC),
Saeo = Soec (общая высота; АО = OC),
Same = Sepc следовaтельно Smbe = Sebp => Saeo = Soec =S/2-(Same +Sмев)=S/2-
(Sepc + Sebp), что и требовалось доказать.
Итак, мы кратко повторили теорию и применили ее для решения конкретных задач. На следующем уроке мы рассмотрим угол между векторами.
