Соотношение между сторонами и углами - теорема о площади треугольника, теорема косинусов, теорема синусов
Повторение теории начнем с основ.
1) S=Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
2) Теорема синусов: а относится к синусу противолежащего угла a так же, как в относится к синусу противолежащего угла b так же, как с относится к синусу своего противолежащего угла g. В этом суть теоремы синусов.
И далее есть очень важное следствие. Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности. Это удивительное следствие. Чтобы найти радиус, оказывается, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.
3) Теорема косинусов.
Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Применительно к с имеем:
с2=а2+в2-2ав.
После сделанных напоминаний приступим к решению конкретных задач.
Задача 1
Дано:
В треугольнике АВС АВ=8см, прилежащий ÐА=30º, другой прилежащий ÐВ=45º.
Требуется: решить этот треугольник, т. е. найти остальные углы и стороны, а именно, ÐС, сторону АС, которую мы обозначили как в, сторону ВС, которую обозначили как а. Стандартные обозначения здесь сохраняются.
Задача 2
Смежные стороны параллелограмма равны а и в, один из углов равен a.
Найдите диагонали параллелограмма.
Рис1.
Задача 3
Докажите: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Задача 4
Найти медиану АА1 треугольника АВС, если АВ=с, ВС=а, СА=в. Даны три стороны, найти медиану.
Рис2.
Задача 5
Докажите, что три медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.
