Решение иррациональных уравнений
Задание
Уравнение – равенство вида F(x1,x2…)=G(x1,x2..), где F,G=числовые функции.
Решить уравнения – найти такие значения неизвестного, при которых выполняется равенство. Достигается решение как раз в зависимости от вида уравнения.
Виды уравнений:
- линейные,
- квадратные (степенные),
- дробные,
- тригонометрические и т.д.
Разница между рациональным и иррациональным в записи уравнения.
Или можно сказать определения.
Рациональный - это такой вид уравнения, в которой левая и правая части рациональные выражения.
Иррациональное - это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или знаком возведения в дробную степень
Алгоритм решения иррациональных уравнений
Пример
Какой ваш вариант решения? Чаще всего это возведение в квадрат обеих частей (для того, чтобы избавиться от корня (радикала), который нам мешает)
x-2=0.
Тогда, мы получим обычное линейное уравнение уже рационального вида, решение которого точно знаем.
x=2.
После того, как мы нашли неизвестную под корнем, нужно обязательно выполнить проверку. Подставить полученное число в искомое уравнение и убедиться, что равенство выполняется.
Для чего делается проверка, ведь решая уравнения других видов, мы её чаще всего не вы выполняем? Чтобы не получить посторонние корни.
Что это такое легко убедить на примере:
Возводим в квадрат обе части и получим квадратное уравнение:
Переносим всё в левую сторону, не забывая поменять знаки на противоположные. Находим корни через дискриминант:
=-3
=2.
Далее проверка корней через подстановку в искомое.
С x=2 уравнение выполняется, а вот с корнем -3, у нас несовпадение:
3=-3 Такого у нас быть не может. Следовательно, посторонний корень х=-3.
В ответе, мы укажем только х=2.
Переносим всё в левую сторону, не забывая поменять знаки на противоположные. Находим корни через дискриминант:
Далее проверка корней через подстановку в искомое.
С x=2 уравнение выполняется, а вот с корнем -3, у нас несовпадение:
3=-3 Такого у нас быть не может.
Следовательно, посторонний корень х=-3.
В ответе, мы укажем только х=2.
Давайте попробуем догадаться, почему в последнем примере оказался посторонний корень х=-3?
Для этого вспомним последние действия в примере:
3=-3, но если мы возведём обе части в квадрат, то получим 9=9.
В результате некоторых преобразований, мы нашли корни, которые могут оказаться посторонними, из чего следует обязательная проверка при решении иррациональных уравнений.
Закрепление:
- Что такое иррациональное уравнение?
- Объясните алгоритм решения данного уравнения?
- Что такое ОДЗ? Обязателено ли его выполнять?
- Нужна ли проверка корней?
- Что вам показалось сложным в данной теме?
