2. Конспект для ученика по теме «Четырехугольники, решение задач»

#Актуально #Тексты #Упражнения

966

Статья посвящена решению задач по теме «Четырехугольники». Материал актуален для подготовки к ЕГЭ.

Содержание

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360°.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны попарно равны;
Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних углов равна 180°.

Признаки параллелограмма

Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

если противоположные стороны попарно равны;
если две стороны равны и параллельны;
если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Параллелограмм: свойство его биссектрисы

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны:BL⊥AN
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны:AN|| CP

Прямоугольник

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна.

Свойства прямоугольника:

Те же, что и у параллелограмма:
Противоположные стороны попарно равны;
Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна 180°;
Диагонали равны;
Все углы прямые.

Признаки прямоугольника.

Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – прямоугольник:

все углы прямые;
диагонали равны и он является параллелограммом.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360°.

Свойства ромба:

Те же, что и у параллелограмма:

Противоположные стороны попарно равны;
Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна;

Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.

Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это - ромб:

все стороны равны;
диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;
диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Квадрат

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360°.

Свойства квадрата:

Те же, что и у ромба и прямоугольника:

Все стороны равны;
Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
Все углы прямые;
Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов квадрата;
Диагонали равны.

Площадь квадрата

Т.к. квадрат является ромбом, то его площадь также равна половине произведения диагоналей.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Произвольная трапеция

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360°.

Свойства трапеции:

Сумма углов при боковой стороне равна 180°.
Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Признаки и свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

Углы при каждом основании равны;
Диагонали равны;
Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;
Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.