Переход к основной теме:
Повторение прошлой темы. Пример 1.
Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение:
До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.
1 способ.
680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.
2 способ.
Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)
3 способ.
С помощью пропорции:
680 руб. – 85 %
х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)
Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.
Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».
Самые простые задачи этого типа приведены ниже.
Пример 2 .
Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).
Пример 3.
Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
- 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
- 10 : 25 • 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
- 15 : 25 • 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.
Ответ: 40%, 60%.
В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?
Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.
Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.
Тогда:
- концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
- процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
- Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
- Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.
Пример 4.
Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение:
300 • 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.
Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К - концентрация вещества;
P - процентное содержание вещества (в процентах).
Пример 5.
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Решение:
Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).
При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х
Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75
Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:
0,25 • х = 33,75;
х = 33,75 : 0,25;
х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.
Ответ: 135 кг.
Пример 6.
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение:
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:
3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 – 100%
3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.
Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).
Пример 7.
Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?
Решение:
1 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.
Составим пропорцию
5000 руб. – 100%
у руб. – (100 – х)%, получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.
Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 • (100 – х) руб. – 100%
z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)2 рублей – стоимость товара после второго понижения.
Получим уравнение 0,5 • (100 – х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .
2 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.
Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 • (1 – 0,01х)2 = 4050.
Решив его, получим, что х = 10 %.
Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.
Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.
Пример 8.
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.
Тогда 1,01А долг после первого месяца.
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.
После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.
При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.
Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.
Тогда долг после второго платежа 13А/15.
Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:
А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.
А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
1,08А/15 = 108,
А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.
2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.
Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:
(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.
Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 1620000 рублей.
Домашнее задание:
Выучить формулы и правила.
Три одинаковые рубашки дешевле куртки на 10%. На сколько процентов четыре такие же рубашки дороже куртки?
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 51%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 1%.
Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4 %дешевле, чем при открытии торгов в понедельник.
На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
