График. Основные понятия
Существует разное определение понятия график.
- График – это чертёж, на котором наглядно, при помощи линий и других графических элементов показаны какие-либо числовые данные.
- График – чертеж, изображающий при помощи кривых количественные показатели развития, состояния чего-либо. График в математике – это наглядное представление зависимости между числами и величинами.
И как раз в математике, где вводятся основные понятия о графике и функциональной зависимости, не уделяется должное внимание качественному анализу графиков.
Графики широко используют при решении задач по физике. Например, в задачах на движение ускорение и скорость можно определить по тангенсу угла наклона прямой, а пройденный путь и изменение скорости по площади фигуры под графиком.
Самое главное, разумеется, это тот факт, что графиками пользуются для наглядности. Нанося результаты измерений на график, очень удобно следить за тем, как идет процесс. Эта «наглядность» как раз и позволит лучше понять особенность физических закономерностей, описанных в условии задачи, или же упростить аналитические расчеты. Автор предлагает использование графиков с той же целью наглядности, но для решения задач повышенной сложности – олимпиадных задач.
В физике на графиках принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задается самим субъектом (экспериментатором, учащимся), а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Короче говоря, по горизонтали откладывается «причина», а по вертикали – «следствие». Но в теоретических задачах возможны и другие более экстравагантные варианты.
В школьных учебниках физики вводится графический способ представления зависимости одной физической величины от другой. Так же в курсе математики учащиеся изучают декартову систему координат, прямую и обратную пропорциональность (или пропорциональную зависимость). Поэтому учащиеся знакомы с прямолинейной зависимостью одной величины от другой
у = kx + b (1)
Построим прямую в классической декартовой системе координат, состоящую из перпендикулярных друг к другу осей x и y и наносим на них шкалу один переменных величин осей (х,у). Для определенности возьмем коэффициенты k > 0 и b > 0 (Рис. 1).
Рисунок 1. Прямая в декартовой системе координат
Теперь сделаем переобозначение осей координат, по оси абсцисс отложим время t в секундах, а по оси ординат координату х в метрах Тогда после замены переменных уравнение (1) примет вид
x = kt +x0 (2)
Перенесем х0 влево тогда получится разность координат х – х0, в свою очередь разность координат при прямолинейном движении является пройденным путем s. В результате получим:
s = kt (3)
Очевидно, что коэффициент пропорциональности k между временем t и пройденным путем sявляется скорость v. Построим теперь декартову систему координат, состоящую из осей (t,x). Отметим на ней начальную х1 и конечную х2 координату тела, а так же время, в которое тело находилось в начальной и конечной координате t1 и t2 соответственно (Рис. 2).
Рисунок 2. Изменение координаты, при движении с постоянной скоростью
Изменением координаты тела за промежуток времени от момента t1 до моментаt2 называют разность x2 – x1 между конечным и начальным значением координаты. Значит любая прямая линия в координатах (координата, время) будет определять движение с постоянной скоростью:
Отсюда можно сделать несколько важных выводов:
- чем «круче» будет идти график, тем больше будет скорость движения тела, так как за одно и тоже время у тела «сильнее» изменилась координата (Рис. 3);
- если график параллелен оси абсцисс, то его координата не меняется, значит тело покоится (Рис. 4);
- если график направлен вниз, то разность координат будет отрицательная, а это значит, тело возвращается, то есть движется в обратном направлении (Рис. 4).
Рисунок 3. Различие изменения координат, при движении с разной скоростью
Рисунок 4. Состояние покоя и движение в обратном направлении
После того как учащиеся научились описывать движения тел графически, разобрались в основных особенностях построения графика зависимости координаты от времени для движения одного тела, можно и нужно перейти к одновременному движению двух тел. Здесь возможно два случая: встречное движение и обгон. Начнем с одного из самых важных и распространенных в природе и технике случая – задачи о встречном движении двух тел.
Решение задач графическими методами
Закрепление
Перечислять различные варианты можно достаточно долго. Тем более, что как показывает практика, фантазия авторов олимпиадных задач задачи по физике практически безгранична. Но это и ненужно. Главная задача, которая стоит перед нами, это научить детей «видеть», что изображено на графике, научится его «читать», и уметь строить их или достраивать самостоятельно.
Главные выводы, которые ученик должен для себя сделать, после изучения графического метода решения задач по физике:
- построение графика и его исследование может облегчить понимание процесса, описанного в задаче, или значительно упростить математические преобразования;
- в случае прямолинейной зависимости, тангенс угла наклона прямой определяет значение другой физической величины или пропорционален другой физической величине;
- в случае нелинейной зависимости, для определения мгновенного значения роста физической величины, необходимо строить касательную к графику функции в нужной точке, и определять тангенс ее наклона;
- в некоторых случаях площадь под графиком функции так же дает значение другой физической величины.
