1. Конспект для учителя по теме «Числовая окружность»

#Актуально #Тексты
6014
2

Что такое числовая окружность? Для чего она нужна?

Содержание


Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Сегодня мы будем учиться использовать единичную окружность.

Для успешной работы с единичной окружностью нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов.

  1. Какой угол называется углом поворота?

Угол поворота – это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

  1. Какой угол называется углом в 1m4-5?

Угол в 1m4-5- это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна m5-1 части окружности.

  1. Какой угол называется углом в 1 радиан?

Угол в 1 радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

  1. Чему равен 1 радиан?

m5-2

  1. Как выразить градусную меру угла в радианной?

m5-3

  1. Как определить какой четверти принадлежит угол?

В зависимости от того в какой координатной четверти окажется начальный радиус, угол α называют углом этой четверти:





0 m4-5 < M5-22 < 90 m4-5, то M5-22 – угол I четверти

90 m4-5 < M5-22 < 180 m4-5, то M5-22 – угол II четверти

180 m4-5 < M5-22 < 270 m4-5, то M5-22 – угол III четверти

270 m4-5 < M5-22 < 360 m4-5, то M5-22 – угол IV четверти

  1. От чего зависит, каким будет угол поворота: положительным или отрицательным?

При повороте начального радиуса против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

Тестовые задания по вариантам

m5-5

Проверьте ответы:

m5-6

m5-7

Теория

m5-8

Для введения тригонометрических функций нам понадобиться новая математическая модель – числовая окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность. Какая же окружность называется единичной? Введем то понятие.

Рассмотрим прямоугольную систему координат. Построим окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1. Такую окружность называют единичной или тригонометрической окружностью.

Окружность пересекает оси координат в некоторых точках. Обозначим их: А, В, С, D.

Дугу АВ будем называть первой четвертью единичной окружности, дугу ВС – второй четвертью, дугу CD – третьей четвертью, дугу DA – четвертой четвертью. Притом будем говорить об открытой дуге, то есть о дуге без её концов.

m5-9

Мы с вами умеем изображать числа на числовой оси. На единичной окружности также можно отображать числа. Установим соответствие между точками числовой прямой и точками единичной окружности.

Построим числовую ось параллельно оси Оу и укажем положительное направление вверх. В точку пересечения единичной окружности и числовой прямой поместим 0. Зададим единичный отрезок на числовой прямой.

А теперь представим, что наша числовая ось гибкая, и мы можем её накручивать на окружность, как нитку на катушку. Начнем загибать положительную полуось. Замечаем, что единица числовой оси попала в некоторую точку единичной окружности. Продолжаем закручивать числовую ось, движение идет против часовой стрелки – это положительное направление. Числа 2, 3, 4 и т.д. отобразились в некоторые точки единичной окружности.

Числовая ось бесконечна, и процесс накручивания можно продолжать также бесконечно. При этом каждая точка числовой оси будет попадать в определенную точку окружности. Давайте выясним, какие числа будут попадать в точки пересечения окружности с осями координат.

m5-10

Намотаем отрицательную часть числовой оси на окружность. Движение идет по часовой стрелке – это положительное направление. Процесс такого накручивания можно также продолжать бесконечно. И каждое отрицательное число попадет в соответствующую ему точку окружности.

m5-11

Определение числовой окружности

Определение.  Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) называют числовой окружностью.

Примеры изображения чисел на окружности

Рассмотрим несколько примеров изображения чисел на единичной окружности.

Пример 1. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу 7.

Нам нужно, отправляясь из точки 0 и двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), пройти по окружности путь длиной 7.

m5-12

Изображение чисел на единичной окружности совпадает с изображение радиан. Рассмотрим первый положительный и первый отрицательный обороты. Обозначим точки пересечения окружности с осями координат: m5-13

Вспомогательные макеты

Чтобы было удобнее отмечать радианы на единичной окружности, нам пригодятся два макета.

m5-14

Макет 1. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части путем построения биссектрис углов.

Макет 2. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части путем проведения прямых, параллельных осям координат, проходящие через точки m5-15 

Задания

Задание 1.

m5-16 

m5-17 

Задание 2.

m5-18 

Задание 3.

m5-19

Домашняя работа:

  1. Выучить теоретический материал.
  2. Выполнить задания:

m5-20

m5-21

Еще материалы по теме «1.5 Числовая окружность»



Хотите пойти учиться в колледж?
Выбирайте «Тьюторию»!

Поступление без ОГЭ и ЕГЭ. Обучаем перспективным профессиям
после 9 или 11 класса.

Жмите на баннер!
Текст прошел проверку у экспертов «ИнПро» ®
педагог по математике
педагог по математике
педагог по математике
Ирина Михайловна
методист образовательного холдинга «ИнПро»

Справочно:

Материалы подготовлены Федеральным образовательным сервисом «ИнПро»® – Лицензия Минобрнауки 22Л01 № 0002491.

Готовим детей к школе, а также подтягиваем по школьной программе по всей России в 40+ центрах и онлайн, в том числе в Вашем городе.

Бесплатная горячая линия: 8 800 250 62 49 (с 6 до 14 по Мск).


Следите за новостями в социальных сетях:


Нужен репетитор? Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.

Нужен репетитор?
Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.
Бесплатное занятие Бесплатное занятие