Главная
Математика
10 класс
1. Алгебра
1.38 Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
Текущая страница

2. Конспект для ученика по теме «Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности»

1054

На этом уроке вы узнаете, что такое числовая последовательность, какие бывают способы задания числовой последовательности. Подробно рассмотрите аналитический способ задания числовой последовательности, а также предел числовой последовательности.

Содержание

Числовая последовательность

Определение

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

Аналитический
Словесный
Рекуррентный

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Свойства числовых последовательностей

Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_n<a_n+1 .
Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_n>a_n+1 .
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M∈R , что a_n≤M . При этом число M называется верхней границей последовательности.
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m∈R , что a_n≥m . Число m называется нижней границей последовательности.
Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Предел последовательности

Число называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной - окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера

Рассмотрим задания, встречающиеся в экзаменационных работах

Примеры

Пример 1.

Последовательность {a_n} определена как a₁ = 137 и a_n+1 − a_n = 0 для n ≥ 1. Найдите a₈₉₉₉

Решение:

a_n+1 − a_n = 0 означает, что a_n+1 = a_n, поэтому 137 = a₁ = a₂ = a₃ = ... = a₈₉₉₉

Пример 2.

Если

найдите a_19.

Решение:

Пример 3.

Вычислите x_2.

Решение:

Пример 4.

Последовательность задана формулой

Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с n=1:

Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.

Пример 5.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

Решение:

Арифметической прогрессией называется такая последовательность в которой разность между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменной. Поэтому арифметическая прогрессия является последовательность: 1; 3; 5; ... Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.

Пример 6.

Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Решение:

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число. Поэтому геометрической прогрессией является последовательность: