Дифференцирование сложной функции. Примеры
Сложную функцию мы уже дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию
Например,
Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.
Начнем с функции
1. 
Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.
2. 
Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.
Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.
Таблица производных сложных функций
Пример
Пример.
Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.
Задача из практики подготовки к ЕГЭ
В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.
Найти минимум функции
Решение.
ОДЗ:
Найдем производную 
. Напомним, что
Приравняем производную к нулю
Точка 
- входит в ОДЗ.
Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы монотонности для функции
Рассмотрим точку и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит, - точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума:
Нарисуем схему (см. рис.2).
Рис.2. Экстремум функции
На промежутке 
- функция убывает, на 
- функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения.
1. Найти производную функции
Решение:
Результат применения формулы 
в чистовом оформлении выглядит так:
2. Найти производную функции
Решение:
Как всегда записываем:
Согласно формуле
3. Найти производную функции
Решение:
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке 
.
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Домашнее задание
1. Найти производную функции
Решение:
2. Найти производную функции
Решение:
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного
но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Используем правило :
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке .
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
