Определение котангенса
Зададим единственное число 
. Каждому действительному числу соответствует единственная точка
на числовой окружности (рис. 1). Точка 
имеет абсциссу и ординату,
абсциссу называют косинусом числа , ординату – синусом числа .
Отношение косинуса к синусу называется котангенсом числа .
Каждому допустимому значению соответствует единственная точка на окружности, единственная пара её координат, а значит и единственное значение дроби 
, т.е. единственное значение котангенса. Таким образом, задаётся функция 
или 
.
Аргументом функции котангенс может быть число или угол 
. Вспомним связь между числовым и угловым аргументами.
Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна 
(рис. 2).
В окружности
штук радиан.
Если есть угол 
и окружность радиуса 1, то длина этой дуги или аргумент связаны с следующим образом:
Котангенс на числовой окружности
Как определить значения котангенса для конкретных значений числового или углового аргумента? Они расположены на линии котангенсов – касательной к окружности в точке B (рис. 3).
Возьмем аргумент или угол . Аргументу или углу в радианах соответствуют синус и косинус. Рассмотрим:
График функции y=ctgt
Изобразим график функции в координатной плоскости. По формулам приведения:
Поэтому для построения графика функции достаточно
график функции /m22-11.png){kind=small}
симметрично отобразить относительно оси х
и сдвинуть вдоль оси х на 
влево (рис. 4).
Свойства функции y=ctgt
Исследуем график функции
1) Область определения:
2) Область значений:
a) Каждому допустимому 
соответствует единственное значение 
.
b) Любой достигается при одном либо нескольких значениях .
3) Функция нечетна:
График симметричен относительно начала координат.
4) Наименьший положительный период 
:
Значение периода котангенса также следует из формулы
при том, что нам известен период тангенса.
5) Точки пересечения с осью x:
Точки пересечения с осью y отсутствуют (рис. 4).
6) Определим интервалы знакопостоянства (рис. 5):
7) Функция монотонно убывает на каждом из интервалов
Покажем это:
Рассмотрим промежуток 
длиной в период. Функция монотонно убывает
от 
до 
.
Действительно, если мы возьмем две точки из этого промежутка, такие, что
На каждом из отдельно взятых участков длиной в период функция также монотонно убывает.
8) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Вывод
Мы изучили функцию её график и свойства. Все они будут использоваться в дальнейшем при решении различных задач, в том числе и при решении тригонометрических уравнений, к изучению которым мы приступим на следующем уроке.
Домашнее задание
1. Выучить теорию
2. Написать краткий конспект на эту тему
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Решить задания № 20.2,20.3(б, г), 20.5, 20.19.
