Исследование графика функции без производной
Дано:
Надо исследовать эту функцию, построить график, найти промежутки монотонности, максимумы минимумы и какие задачи сопутствуют знанию об этой функции.
Сначала полностью воспользуемся той информацией, которая дает функция без производной.
1. Найдем интервалы знакопостоянства функции и построим эскиз графика функции:
1) Найдем
2) Корни функции:
, отсюда 
.
3) Интервалы знакопостоянства функции (см. рис.1):
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции.
Теперь знаем, что на промежутке 
и 
график находится над ось Х, на
промежутке 
- под осью Х.
2. Построим график в окрестности каждого корня (см. рис.2).
Рис. 2. График функции в окрестности корня.
3. Построим график функции в окрестности каждой точки разрыва области определения.
Область определения разрывается в точке 
. Если значение 
близко к точке , то значение функции стремится
к 
(см. рис.3).
Рис. 3. График функции в окрестности точки разрыва.
4. Определим, как ведет график в окрестности бесконечно удаленных точек:
Запишем с помощью пределов
Важно, что при очень больших , функция почти не отличается от единицы.
Исследование графика функции с помощью производной
Найдем производную, интервалы ее знакопостоянства и они будут интервалами монотонности для функции, найдем те точки, в которых производная равна нулю, и выясним, где точка максимума, где точка минимума.
Отсюда, 
. Эти точки являются внутренними точками области определения. Выясним, какой знак производной на интервалах, и какая из этих точек является точкой максимума, а какая - точкой минимума (см. рис.4).
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Из рис. 4 видно, что точка 
- точка минимума, точка 
- точка максимума.
Значение функции в точке равно 
. Значение функции в точке равно 4. Теперь построим график функции (см. рис.5).
Рис. 5. График функции
Таким образом, построили график функции
Опишем его. Запишем интервалы, на которых функция монотонно убывает:
- это те интервалы, где производная отрицательна. Функция монотонно возрастает на
интервалах 
и 
.
- точка минимума, - точка максимума.
Сопутствующие задачи
Задача.
Найти число корней уравнения
в зависимости от значений параметра.
Решение.
- Построить график функции. График этой функции построен выше (см. рис.5).
- Рассечь график семейством прямых
и выписать ответ (см. рис.6).
Рис. 6. Пересечение графика функции с прямыми .
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения
1. Исследуйте функцию
2. Исследуйте функцию
3. Исследуйте функцию
Домашнее задание
Исследовать функцию:
1. 
2. 
3. 
