2. Конспект для ученика по теме «Как построить график функции y=tgt, свойства и график функции y=tgt»

Определение тангенса

На отрезке задана функция  (рис. 1).

По определению, каждому значению ставится в соответствие только одно значение . И обратно: значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента: .

Дадим определение функции или .

Нам важен закон, по которому каждому значению ставится в соответствие .

Зададим произвольное . Значение  откладывается на числовой окружности по часовой стрелке либо против часовой стрелки, в зависимости от знака . Получаем единственную точку M с единственной парой координат (рис. 2).

Координату называют косинусом числа  координату - синусом числа .

Тангенсом числа  называется отношение синуса  к косинусу .

Тангенс на числовой окружности

Нам известно, что каждому значению аргумента  ставится в соответствие

единственное значение функции . Покажем это графически.

Проведем касательную к числовой окружности в точке A. Заданному значению  соответствует единственная точка M, единственная прямая OM и единственная точка T пересечения прямой OM и касательной (рис. 3).

Наша цель – найти координаты точки T, для этого решим систему уравнений.

Ордината точки равна .

Прямую называют линией тангенсов.

Исследование четности и периодичности  функции y=tgt

Докажем, что область значений тангенса – это все действительные числа,  

Доказательство:

Зададим любое действительное значение и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Отложим  на линии тангенсов, получим точку  (рис. 4).

Соединим её с точкой O, получим прямую , которая пересекает числовую окружность хотя бы в одной точке M, а, значит, существует единственная дуга и хотя бы одно значение , которое равно длине дуги.

Любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. Но любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

Таким образом, мы задали любое значение функции и доказали, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Отметим два важных свойства функции .

1. Нечетность функции.

2. Докажем, что период функции равен .

Таким образом, для любого значения выполняется:

График функции y=tgt

Эти свойства функции  позволяют нам легко построить её график.

Период функции равен значит, мы можем  изучить её свойства и построить график

на любом участке длиной .

Нечетность функции позволяет симметрично отобразить участок графика относительно начала координат.

С учетом этого построим график функции  на промежутке (рис. 5).

Мы получили график функции на заданном промежутке. Можно было построить график и по известным табличным значениям. Например:

Из построенного графика функции на промежутке  видно, что функция возрастает. Докажем это.

Рассмотрим график  на промежутке . Точки (рис. 6).

Докажем, что .

Доказательство:

На промежутке функция возрастает, значит  (рис. 7).

На промежутке функция убывает, значит  (рис. 8).

значит, функция  возрастает

на промежутке .

Зная свойства функции, мы можем построить её график на всей области определения.

В точках проходят вертикальные асимптоты (рис. 9).

Свойства функции y=tgt

Рассмотрим основные свойства функции 

1) Область определения:

2) Функция периодическая с периодом

3) Функция нечетная.

4) Функция возрастает и непрерывна на любом интервале 

5) Функция не ограничена.

6) Функция не имеет ни минимального, ни максимального значения.

7)  

Решение уравнения

Задача.  Решить уравнение

Решение:

На промежутке функция монотонно возрастает, значит, на этом промежутке значение достигается при единственном значении аргумента (рис. 10).

С учетом периодичности получаем

Ответ:

Вывод

Мы рассмотрели функцию , её свойства и график.

На следующем уроке рассмотрим функцию .

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]