Методика исследования функции, построение ее графика
Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:
- Исследование без производной
- Исследование с помощью производной
Без производной
- Определим ОДЗ функции
Подкоренное выражение не должно быть меньше 0, следовательно, 
должен быть меньше
или равен 2.
- Найдем корни функции
при 
, 
Отметим на числовой прямой найденные значения таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака функции.
- Определим интервалы знакопостоянства и знаки функции
На интервале 
функция отрицательна. На интервале 
функция положительна
(знак функции на интервале определяется подстановкой вместо любого значения из данного интервала).
Таким образом, на интервале график расположении ниже оси абсцисс, а на интервале – выше данной оси.
- Построим эскиз графика функции в окрестностях:
а) корней функции (на рисунке 3 выделен красным цветом);
б) точек разрыва (для данной функции точек разрыва нет);
в) бесконечно удаленных точек (для 
) (на рисунке 3 выделен зеленым цветом). ОДЗ у данной функции таково,
что стремится к минус бесконечности, при этом 
также стремится к минус бесконечности.
Следовательно, мы получили примерное изображение графика функции.
С помощью производной
- Найдём производную
- Определим критические точки производной
Для этого приравняем производную к нулю:
- Определим интервалы знакопостоянства и знаки производной на них
Для этого определим ОДЗ производной:
Отложим на числовой прямой найденные значения критической точки и ОДЗ, таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака производной.
На интервале
производная больше нуля, значит, сама функция возрастает;
на интервале
производная меньше нуля, значит, функция убывает
- Исследуем точки экстремума функции
В точке 
функция достигает максимума. Определим значение функции в этой точке:
Для самостоятельной работы
Полученные результаты свести в таблицу:
1 строка: интервалы знакопостоянства производной и критическая точка;
2 строка: значения производной на каждом интервале;
3 строка: возрастание и убывание функции на интервалах знакопостоянства производной, значение функции в критической точке;
4 строка: точка максимума.
Решение:
Домашнее задание
Пример 1.
Кратко представить результаты исследования функции:
