1. Конспект для учителя по теме «Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке»

1492

Здравствуйте! Сегодня узнаем: как найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Содержание

Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции можно найти по графику функции. Иногда это значения удаётся найти, используя свойства функции. В общем случае наибольшее и наименьшее значения функции находятся с помощью производной. Для этого сформулируем некоторые теоремы.

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).
Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], тогда:

находим производную функции f(x).
Приравниваем производную к нулю, определяем точки экстремума функции, отбираем из них те, которые принадлежат отрезку [a;b].
Находим значения функции y=f(x) в отобранных точках, и в конечных точках отрезка a и b; выбираем среди полученных значений наименьшее (y_наим) и наибольшее (y_наиб).

А что делать, если нужно найти наибольшее или наименьшее значения функции, непрерывной на интервале? Один из вариантов — графический метод, который подразумевает построение графика функции и определение наименьшего или наибольшего значения функции по нему. Однако не всегда этот способ удобен, целесообразнее использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x₀. Тогда:

а) если x=x₀ — точка максимума, то y_наиб=f(x₀);

б) если x=x₀ — точка минимума, то y_наим=f(x₀).

Примеры

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = 18х² + 8х³ - 3х⁴ на отрезке [-2;4]

Решение:

Вычислим производную данной функции: f(x) = 36x + 24х² – 12х³ = 12x(3 + 2x - х²). Приравняем производную нулю, получим уравнение x(3 + 2х - х²) = 0 и найдем стационарные точки функции х1 = 0, x2 = -1 и x3 = 3. Отметим эти точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f(x). Видно, что в точках x = -1 и х = 3 функция имеет максимум, в точке x = 0 функция имеет минимум. На промежутке [-2; 4] находятся все три точки экстремума.

Из сравнения значений функции видно, что y_наиб = f(3) = 135 и y_наим = f(-2) = -40. В данном случае наибольшее значение функции достигается в точке максимума х = 3, наименьшее значение - на левой границе х = -2 рассматриваемого промежутка.

Пример 2.

Найти наибольшее значение функции

f(x) = 3 + 2ах - х² на отрезке [1; 2].

Решение:

Вычислим производную функции: f(х) = 2а - 2х. Стационарная точка функции х = а. Рассмотрим различное расположение точки а по отношению к данному промежутку [1; 2]. Имеем три случая.

а) Если а ∈ (-∞; 1), то производная f(x) < 0 на отрезке [1; 2]. Поэтому функция f(x) убывает и достигает наибольшего значения на левой границе промежутка х = 1. Наибольшее значение функции y_наиб = f(1) = 2 + 2a.

б) Если а ∈ [1; 2], то стационарная точка находится на данном отрезке и это точка максимума. Тогда наибольшее значение. y_наиб = f(a) = 3 + a².

в) Если а ∈ (2; ∞), то производная f(x) > 0 на отрезке [1; 2]. Поэтому функция возрастает и достигает наибольшего значения на правой границе промежутка х = 2. При этом наибольшее значение функции y_наиб = f(2) = 4а - 1.

Итак, при а ∈ (-∞; 1) y_наиб = 2 + 2а; при а ∈ [1; 2] y_наиб = 3 + а2; при a ∈ (2; ∞)yнаим = 4а - 1.

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Найдем производную функции:

Производная существует при всех значениях х, и функция критических точек не имеет. Стационарные точки находим из условия f(x) = 0 и получим x = 1. На рассматриваемом промежутке находится единственная стационарная точка х = 1. При х < 1 f(x) < 0, при х > 1 f(x) > 0. Следовательно, х = 1 - точка минимума и

Так как х = 1 - единственная стационарная точка на промежутке [0; +∞), то по теореме 4 унаим = ymin = 2/3. При х = 0 (на конце промежутка) у(0) = 1/1 = 1. График функции имеет горизонтальную асимптоту у = 1. Тогда y_наиб = у(0) = 1

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Известно, что эта функция возрастает на промежутке ,

значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках

то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от до 8, функция возрастает от -32 до -1.

Ответ:

Пример 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Найдем производную

Легко проверить, если принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем: