Пусть функция 
строго монотонная (возрастающая или убывающая)
и непрерывная на области определения 
, область значений этой функции 
, тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция 
с областью значений , которая является обратной для .
Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.
Функции f и g называют взаимно обратными.
Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?
Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.
Примеры нахождения взаимнообратных функций
Например, требуется решить уравнение
Решениями являются точки
Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.
Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.
Начнем с линейных взаимнообратных функций.
Итак, разберем основные примеры.
Основные примеры
Пример 1.
Найти функцию, обратную для
Решение:
Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение 
относительно x).
- это и есть обратная функция, правда здесь y - аргумент, а x - функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения),
переставив буквы X и Y, будем писать 
.
Таким образом, и - взаимно обратные функции.
Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.
Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.
Пример 2.
Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.
Найти функцию обратную для
Решение:
Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал (0;+∞).
Выразим X через Y (другими словами решим уравнение относительно x).
- это и есть обратная функция. Переставив буквы X и Y, имеем 
.
Таким образом, и - показательная и логарифмическая есть взаимно обратные функции на области определения.
График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.
Примеры для самостоятельного решения
1.
2.
Функция 
убывает на множестве 
и имеет множество значений 
Обратная функция 
также убывает на множестве И имеет множество значений .
Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.
Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f-1(x) (см. пример 1).
Теорема 3. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х.
