Причины возникновения периодичности:
Во-первых, это определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Во-вторых, – специфика отображения аргумента на числовой оси или числовой окружности.
Рассмотрим подробнее. Пусть аргумент 
откладывается на координатной прямой. Вспомним, что необходимо сделать, чтобы из обычной прямой получить координатную.
- Отметить начальную точку.
- Задать положительное направление.
- Определить масштаб.
На координатной прямой существует взаимно-однозначное соответствие между точкой и действительным числом. Каждому действительному числу соответствует своя точка на прямой и наоборот, каждой точке прямой соответствует одно действительное число (рис. 1).
На числовой окружности числу соответствует единственная точка M. Но длина окружности радиуса 1 равна
.
Число + тоже попадет в точку M.
Точка M соответствует бесчисленному множеству чисел вида 
.
У точки M единственная пара координат, т.е. единственные значения синуса и косинуса (рис. 2).
Еще раз посмотрим, какое существует взаимоотношение между числовой прямой и числовой окружностью. Представим себе, что бесконечная тонкая нить наматывается на тонкий обод радиуса 1. Тогда все точки
попадут в одну точку окружности. В этом и причина периодичности.
Определение периодичной функции, наименьший положительный период функций y=sint, y=cost
Дадим строгое определение периодичности.
Определение: Функцию 
называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого t выполняется равенство
Число T называется периодом функции 
.
Функции 
и 
имеют много различных периодов.
Докажем, что 
наименьший положительный период.
Доказательство:
Число является периодом функций и .
Осталось доказать, что меньшего положительного периода не существует.
Пусть T – произвольный период. Тогда 
для всех 
,
в частности для 
.
Наименьшим положительным периодом вида 
является .
Особенности исследования периодических функций y=sint, y=cost
Заменим аргумент t на x и обсудим исследование периодических функций
и 
.
Так как - наименьший положительный период, то необходимо сделать следующее:
1) Построить график и исследовать функцию на любом отрезке длиной .
2) Продолжить график и сформулировать свойства на всей области определения, 
.
При этом необходимо учесть нечетность функции и четность функции .
В соответствии с изложенной схемой рассмотрим функции и .
Функция – периодическая, период . В силу нечетности достаточно исследовать её
на участке 
и симметрично отобразить график относительно начала координат (рис. 4).
Рассмотрим функцию . Учтём, что она четная, график симметричен относительно оси y.
Мы можем построить график на участке и симметрично отобразить относительно оси y (рис. 5).
Наличие периода позволяет решать многочисленные задачи.
Задача 1. Вычислить
a) 
b) 
Решение:
a) 
Ответ: 1.
b) 
Ответ: 
Задача 2. Доказать тождество
Доказательство:
Тождество доказано.
Вывод:
Наличие периода мы использовали для исследования функций и решения типовых задач.
Домашнее задание
1. Выучить теорию
2. Доказать тождество
