Примеры с решением
Пример 1.
Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей?
Решение:
Обозначим одну из сторон за 
, тогда вторая сторона:
Площадь такого прямоугольника составит:
Требуется найти максимум функции 
.
Это квадратичная функция, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз, см. рис. 1.
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Множество значений данной функции есть отрицательно направленный луч. Очевидно, что максимума он достигает в своей вершине:
Можно также использовать для решения дифференцирование. Найдем производную:
Определим критические точки:
Так,
– точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа –отрицательна, см. рис. 2.
Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной
Очевидно, что – точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.
Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.
Алгоритм нахождения максимального значения площади с заданными параметрами
- Выразить площадь через функцию.
- Вывести зависимость между переменными и получить функцию от одной переменной.
- Найти производную этой функции.
- С помощью производной найти точку экстремума функции на заданном промежутке.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
В окружность радиуса 
вписана трапеция 
, основание которой является диаметром окружности (см. рис. 4). Найти наибольшую площадь трапеции.
Рис. 3. Чертеж к задаче
Домашнее задание
1. Площадь прямоугольника составляет 
. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?
