Теория
Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:
– критические точки.
Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 1).
До точки 
функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно, – это точка максимума.
До точки 
функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.
Рис. 1. График производной функции
Найдем значения функции в точках минимума и максимума:
Можно сделать вывод, что функция возрастает от 
до 6 и от 2 до 
; функция убывает от 6 до 2.
На рисунке 2 показан график функции
Этот график читается следующим образом:
Если аргумент возрастает от до 
, то функция возрастает от до 6;
если аргумент от до 1, то функция убывает от 6 до 2;
если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .
Рис. 2. График функции
Результаты исследования функции
Примеры
Пример 1.
Найти число корней уравнения
в зависимости от параметра 
.
Решение:
- Перенесем в правую часть уравнения:
- Построим график функции
(см. Рис. 3) (как построить график этой функции см. выше).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
- Рассечем этот график семейством прямых
, при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции
(см. Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Уравнение 
имеет один корень при каждом из множества 
,
а также из множества 
.
Уравнение имеет два корня при 
и при 
.
Уравнение имеет три корня при всех из множества 
.
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения
- Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничений на параметр а:
Решение:
- Решите уравнение
Решение:
x=3
Рис.5. Иллюстрация к задаче
Домашнее задание
- Сколько корней имеет уравнение х3 + ах +2 = 0 при различных значениях параметра а?
Решение:
Построим график функции
По графику определяем, что при а > -3 один корень, при а = -3 два корня , при а < -3 три корня
- Решите уравнение
Решение.
х=-1
Рис.6. Иллюстрация к задаче
