Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношение:
Иными словами в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).
Функцию 
называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Если выражение 
составлено из рациональных, иррациональных,
тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение ,
т.е:
Теорема
Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:
Если 
то:
1. 
– предел суммы 
и 
при 
равен сумме пределов, т. е. 
.
2. 
– предел произведения и при равен произведению пределов, т. е. 
.
3. 
– предел частного 
при , есть частное от пределов, т. е. 
при 
.
4. 
– предел произведения коэффициента 
на функцию равен , умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Примеры
Пример 1
Найти
Решение:
Во-первых, нужно взять предел от 
и отнять предел 
, во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при 
, т. е. единицу подставляем, получаем:
Ответ: -1.
Пример 2
Найти
Решение:
0 входит в область определения функции, значит, предел функции при 
равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:
Ответ: 0.
Пример 3
Вычислим предел функции
Решение:
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.
Пример 4
Вычислим предел функции
Решение:
Разложим числитель на множители
Пример 5
Вычислите предел функции:
Решение:
Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.
Пример 6
Найти предел функции:
Решение:
Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:
Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке. Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Вычислите предел функции:
Решение:
Помножим и числитель, и знаменатель на 
.
Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел
Аналогично
Пример 2
Вычислите предел функции:
Решение:
Помножим и числитель, и знаменатель на .
Мы учли, что
Пример 3
Найти предел функции:
Решение:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.
Пример 4
Найти предел функции:
Решение:
Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Сократим нашу дробь
Тогда получаем:
y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Пример 5
Найти предел функции:
Решение:
Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.
Домашнее задание
Пример 1
Найти предел функции:
Пример 2
Найти предел функции:
Пример 3
Найти предел функции:
Пример 4
Найти предел функции:
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Сайт
- Сайт
