Примеры с решением
Пример 1.
Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем.
Решение.
Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.
Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат,
то его стороны обозначим через 
, третье измерение параллелепипеда обозначим через 
(см. рис. 1).
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед и его измерения.
Объем любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть
Между и есть связь. Сказано, что
Заметим, что
Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция
зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных и . Одну из них можно выразить через связь
Отсюда
Подставим полученное выражение в функцию:
Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти 
на отрезке 
.
1) Найдем производную
– критические точки.
Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка 
- точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис.2).
Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной.
Найдем значение функции в точках:
Если , тогда
Найдем объем
Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен 6. Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объем. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции 
на заданном отрезке.
Получили ответ: параллелепипед имеет измерения 
. А наибольший объем 
.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1.
Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 
, а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.
Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед и его боковые грани и измерения.
Решение.
Так как в основании параллелепипеда – квадрат, то одна его сторона равна и вторая – , боковое ребро – (см. рис.3). Известно, что объем этих параллелепипедов - . Надо найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Периметр боковой грани равен
Этот периметр должен быть наименьшим:
Итак, нужно минимизировать данную функцию, которая зависит от двух переменных и . Эти переменные связаны геометрической зависимостью
Выразим 
, тогда
Найдем производную
Отсюда
и 
- критические точки.
Найдем интервалы знакопостоянства производной и посмотрим является ли точка точкой минимума (см. рис.4).
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Таким образом, точка является точкой минимума. Напомним, мы должны найти такую точку, при которой периметр будет наименьшим. Выяснили, что на всем промежутке 
значение функции в точке является наименьшим, так как на промежутке 
функция убывает, а на промежутке 
– возрастает.
Точка экстремума на промежутке - единственная.
Найдем
И, наконец, найдем
Итак, требовалось найти такой параллелепипед, у которого наименьший периметр боковой грани и вычислить этот периметр. Параллелепипед нашли, он имеет измерения . Наименьшее значение периметра боковой грани равно 6.
Пример 2.
Закрытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
Решение:
Пример 3.
Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?
Решение:
Пример 4.
Периметр осевого сечения цилиндра равен p см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем бы наибольшим?
Решение:
Домашнее задание
1. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м3. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
Решение:
