Уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.
Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.
Уравнения вида sinx = a
Решим уравнение sinx = a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.
1) Если а > 1 и а < -1, то уравнение sinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.
2) Если -1 < а < 1, то по рисунку видно, что прямая у=а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.
Так как период синуса равен 2, то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2.
Решением уравнения на 
по определению арксинуса х=arcsin a, а на 
х=-arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения:
Обе серии решений можно объединить:
, 
.
В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:
Если а=-1, то sin x =-1, х= -
+ 2n
Если а=1, то sin x =1, x = + 2n
Если а=0, то sin x =0, x = n.
Итак, разберем основные примеры, встречающиеся в экзаменационных работах.
Примеры
Пример 1.
Решить уравнение:
Решение:
Составим формулы решений
Вычислим значение arcsin 
. Подставим найденное значение в формулы решений
x= 
+ 2n,
х= 
+ 2n,
или по общей формуле:
,
,
Пример 2.
Решить уравнение:
Решение:
Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у=cosx и у=а.
1) Если а < -1 и а > 1, то уравнение cosx=a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.
2) Если -1 < a < 1, то уравнение cosx=a имеет бесконечное множество решений.
Найдем все решения cosx=a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2.
На 
решением уравнения по определению арккосинуса будет
Учитывая четность функции косинус решением уравнения на 
будет
Таким образом решения уравнения cosx=a
,
В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:
Если а=-1, то cosx =-1, x = - + 2n,
Если а=1, то cosx =1, x = 2n,
Если а=0, то cosx =0, x = + n.
Примеры для самостоятельного решения
1. Решить уравнение:
Решение:
,
,
В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:
«Решение тригонометрических уравнений».
,
2. Решите уравнение:
Решение:
,
Домашнее задание
1. Решить уравнение:
Решение:
,
2. Решить уравнение:
Решение:
,
