Опорные факты
Что такое расстояние от точки 
до кривой? Точку можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку 
, чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).
Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.
Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.
Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).
Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).
Рис. 3. Расстояние между прямыми.
Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой ,
в результате получится точка .
– искомое расстояние (см. рис.4).
Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.
Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются.
Нужно соединить центры, получим две точки и . – искомое расстояние (см. рис.5).
Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.
Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками. Предположим, что на координатной плоскости даны две точки
и 
. (см. рис.6).
Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.
Расстояние между точками вычисляется по формуле
Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.
Примеры
Пример 1
На параболе
найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке 
.
Рис. 7. График функции 
.
Решение.
Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).
Координаты искомой точки:
По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:
Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:
или
Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной 
, получим:
Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции
Найдем абсциссу вершины
(см. рис.8).
Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.
Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда 
. Вычислим
Значит, функция 
ведет себя следующим образом (см. рис.9):
Рис. 9. Схематический график функции
Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то
отсюда
Если значения координат 
известны, вычислим значения 
.
Получили ответ
Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка -
вторая точка –
Напомним ход решения задачи. Точка зависит только от , ее координаты – 
. При выражении квадрата расстояния, получили функцию от x. Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену 
, получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения
1. На графике функции
найти точку 
, ближайшую к данной точке 
.
Решение.
Сделаем рисунок (см. рис.10).
Рис. 10. График функции .
Заданы координаты двух точек: и 
.
Найдем расстояние АМ:
- квадратичная функция от .
Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть
Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:
Выяснилось, что
Равенство достигается, когда принимает самое минимальное значение.
Это будет в случае, когда 
. Таким образом, получили ответ , а 
. Значит, координаты
точки 
.
Ответ: .
2. На графике функции y=x2 найдите точку М, ближайшую в точке А (0; 1,5)
Решение:
1,-1 – искомые точки
Домашнее задание
1. На графике функции найдите точку М, ближайшую в точке А (4,5; 0)
Решение:
4,2 – искомые точки
