1. Конспект для учителя по теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс»

#Актуально #Тексты #Тренажеры #Упражнения

4738

Сегодня мы разберем понятия: синус, косинус, тангенс, котангенс.

Содержание

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1.

А область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от .

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0; 1) и (0; -1). В таких случаях выражение для тангенса просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов .

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом числа называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в радиан.

Например, синус числа равен синусу угла поворота величиной рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1;0).

Положительному числу соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь длиной .

Отрицательному числу соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь длиной ||.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол радиан.

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси (ось ординат), красным — положительное направление оси (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными.

В частности,

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Таблица значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для основных углов.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

И в завершение разговора о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе некоторые важные свойства:

Формул приведения очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно. Запомнить их трудно — но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило — и легко можно самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

Правило:

Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан и в градусах, т. е. когда в качестве аргумента тригонометрической функции выступает выражение вида

и т. д.