2. Конспект для ученика по теме «Степенные, показательные и логарифмические функции»

Введение

Пропорциональные величины

Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = kx, 

где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая

с осью X угол , тангенс которого равен k:

tg = k (рис.8).

Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3.

Линейная функция 

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x, где  k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). 

У этой кривой две ветви. Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

1. область определения функции: , область значений: ;
2. функция монотонная (убывающая) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?);
3. функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
4. нулей функция не имеет.

Квадратичная функция

Это функция:  

где a, b, c - постоянные, .

В простейшем случае имеем:  

График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

График функции  

- тоже квадратная парабола того же вида, что и , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D. 

D = b² – 4ac. 

Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  - область определения функции: ( т.e. ), а область значений: … 

     (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

  - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая;

  - при D < 0 не имеет нулей. (А что при ?).

Степенная, показательная и логарифмическая функции

Степенная функция

Это функция:  

где a, n – постоянные.

При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;

при n = 2 - квадратную параболу;

при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. 

Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  

y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат. Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 () и рис.14 ().

Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным.

На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. 

При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат.

Функция y = x³ называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция

Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции.

Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак перед квадратным корнем).

Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Показательная функция

Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.

Аргумент x принимает любые действительные значения; 

в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию.

Так, функция y = 81^x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: 

y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3.

Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.

Основные характеристики и свойства показательной функции:

   - область определения функции: ( т.e. );

   - область значений: y > 0;

   - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

   - нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция

Пусть а — положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием а.

Перечислим основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R₊, т. е. D(log_a)=R₊. Действительно, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.
2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство:

т. е. функция y = log_ax принимает значение у₀ в точке x₀ = a^у0

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0 < а < 1 проводится аналогичное рассуждение).

Доказательство:

Пусть x₁ и x₂ — произвольные положительные числа и x₂>x₁. Надо доказать, что log_a x₂>log_a x₁. Допустим противное, т. е. что log_a x₂≤log_a x₁ (3)

Так как показательная функция у = а^х при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: a^log_a ^x₂ ≤ a^log_a ^x₁. (4)

Но a^log_a ^x₂ = x₂, a^log_a ^x₁ = x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x₂ ≤ x₁. Это противоречит допущению x₂ > x₁.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1;

log_a 1 = 0 при любом а > 0, так как а₀ = 1.

Вследствие возрастания функции при а > 1 получаем, что при х > 1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0 отрицательные.

Если 0 < а <1, то y = log_ax убывает на R₊, поэтому log_a x > 0, при x > 1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = log_a х при а>1 (рис. 1, а) и 0<а<1 (рис. 1,6).

Справедливо следующее утверждение:

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]