2. Конспект для ученика по теме «Типовые задачи на касательную»

#Актуально #Тексты

649

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки решения типовых задач на касательную.

Содержание

Уравнение касательной к графику функции

в точке (см. рис. 1) имеет вид:

Рис. 1. Касательная к графику функции

в точке .

Угол наклона касательной связан с производной следующим образом:

Уравнение касательной полностью определяется значением абсциссы , поэтому все задачи на касательную, сложные или несложные, связаны с тем, чтобы найти точку . Одним из типов задач на касательную являются приближенные вычисления. В окрестности точки значение функции в точке и значение ординаты касательной в точке отличаются на малую величину. На этом была основана вся теория приближенных вычислений.

Существуют многочисленные задачи на применение касательной.

Примеры

Пример 1

Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к кривой

в точке

Проиллюстрировать решение на чертеже.

Решение.

Построим график функции

Найдем

Значит, в точке функция имеет минимум, в точке функция равна 3,

График функции изображен на рис.1.

Рис. 2. График функции

Проведем в точке касательную, которая отсекает треугольник искомой площади (см. рис.3).

Рис. 3. Касательная к графику функции

1. Найдем уравнение касательной.

Для этого найдем

Тогда,

- уравнение касательной.

2. Определим треугольник, площадь которого нужно найти:

Итак, получился прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (см. рис.4).

Рис. 4. Треугольник, образованный касательной и осями координат.

3. Найдем площадь треугольника:

Ответ:

Итак, одна из стандартных задач – найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Методика построения касательной – стандартная. Точка дана – это самый простой случай. Нужно просто было найти уравнение касательной, точки пересечения с осями, а потом – площадь треугольника.