Техника дифференцирования
Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.
Повторим ее на следующем примере.
Дана функция
Найти
Напомним, что
- постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а 
. Отсюда,
Следующее действие – найти производную в конкретной точке.
Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке,
ищем производную в любой точке 
, а потом подставляем нужное значение.
Примеры
Пример 1
Построить график функции
Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.
1. Интервалы знакопостоянства функции.
Найдем корни (нули) функции:
Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться
над осью 
(см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
2. Построить график в окрестности каждого корня.
Функция в точке 
равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна,
значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить.
В точке 
функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):
Рис. 2. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Точек разрыва нет, и когда
Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. Схематический график функции при 
.
Построили эскиз графика функции.
3. Проведем исследование функции
с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
Отсюда
Оба значения 
принадлежат области определения.
Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Итак, 
- точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Найдем значение функции в этой точке:
Точка - точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+».
Вычислим 
.
Таким образом, можем построить график функции
(см. рис. 5).
Рис. 5. График функции
Примеры для самостоятельного решения
1. Построить график функции
Пример 2
Дано уравнение
Найти положительное значение параметра 
, при котором уравнение
имеет ровно два различных решения.
Домашнее задание
1. Исследуйте функцию и постройте график
2.
