Техника дифференцирования
Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.
Повторим ее на следующем примере.
Дана функция
Найти
Напомним, что
- постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а 
. Отсюда,
Следующее действие – найти производную в конкретной точке.
Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке,
ищем производную в любой точке 
, а потом подставляем нужное значение.
Примеры
Пример 1
Построить график функции
Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.
1. Интервалы знакопостоянства функции.
Найдем корни (нули) функции:
Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться
над осью 
(см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
2. Построить график в окрестности каждого корня.
Функция в точке 
равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна,
значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить.
В точке 
функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):
Рис. 2. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
Точек разрыва нет, и когда
Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. Схематический график функции при 
.
Построили эскиз графика функции.
3. Проведем исследование функции
с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
Отсюда
Оба значения 
принадлежат области определения.
Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Итак, 
- точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Найдем значение функции в этой точке:
Точка - точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+».
Вычислим 
.
Таким образом, можем построить график функции
(см. рис. 5).
Рис. 5. График функции
Примеры для самостоятельного решения
1. Построить график функции
Решение.
Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.
Найдем нули функции.
Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.
Итак, знаем, что на промежутке 
график функции будет находиться над осью ,
а на промежутке 
- под осью .
Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).
Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.
График идет следующим образом (см. рис.8):
Рис. 8. Эскиз графика функции
Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.
Проведем исследование функции с помощью производной.
Приравняем производную к нулю, получим:
Отсюда
- единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):
Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.
Осталось вычислить значение функции в точке .
Итак, координаты точки экстремума таковы:
Рис. 10. График функции
Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.
Например, найти все значения параметра 
, при которых уравнение
не имеет решений.
Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).
Рис. 10. Множество значений функции.
Ответ: уравнение
не имеет решений при всех 
.
Пример 2
Дано уравнение
Найти положительное значение параметра , при котором уравнение
имеет ровно два различных решения.
Решение.
Воспользуемся графиком функции
(см. рис.5). При 
уравнение имеет два различных корня, но по условию 
поэтому
Ответ:
При .
Домашнее задание
1. Исследуйте функцию и постройте график
Решение:
2.
Решение
Функция возрастает на (-1;1)
