Задачи
Задача 1
Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости 
, проходит плоскость, параллельная плоскости , и притом только одна.
Дано:
Доказать: существует единственная плоскость 
:
Доказательство:
1) В плоскости проведем две пересекающиеся прямые а и b, 
2) Через точку А проведем прямую
3) Через две пересекающиеся прямые 
и 
проходит единственная плоскость β (рис. 6). Эта плоскость – искомая, так как она проходит через точку А и она параллельна плоскости по признаку параллельности двух плоскостей.
Рис. 6.
4) Любая другая плоскость 
, которая проходит через точку А параллельно , обязательно пересечет плоскость β (рис. 7), а значит, и параллельную ей плоскость , что невозможно. Итак, утверждение доказано.
Рис. 7.
Опорный факт
Пусть мы имеем две скрещивающиеся прямые а и b. Мы знаем, что через них можно провести пару параллельных плоскостей и β.
Рис. 8.
Возьмем любую прямую АВ,
На прямой AB возьмем любую точку N, которая не лежит в плоскости и (рис. 8). Через две скрещивающиеся прямые а и b и точку N проходит единственная тройка параллельных плоскостей
Почему это можно сделать? Почему такую тройку можно провести?
Во-первых, плоскости и мы уже провели, а только что мы доказали, что через точку N можно провести единственную плоскость 
, параллельную плоскости , а значит, и плоскости .
Итак, двум скрещивающимся прямым и точке N соответствует единственная тройка параллельных плоскостей.
Задача 2
Докажите, что в сечении тетраэдра АВСD плоскостью параллельной противолежащим ребрам АВ и СD, лежит параллелограмм.
Задача 3
Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.
